核心结论：您因家里有事请假十几天后病情严重无法继续上班，虽未签合同但可依法辞职，以下是具体做法及注意事项。

1. 未签合同不影响辞职权利：根据《劳动合同法》规定，建立劳动关系应当订立书面劳动合同，但未签合同并不影响您与用人单位之间事实劳动关系的存在，也不影响您依法辞职的权利。您仍可按照法律规定的方式和程序提出辞职。
2. 辞职方式及程序：
   • 提前通知：若您处于试用期，提前三日通知用人单位即可；若您已过试用期，应提前三十日以书面形式通知用人单位。这里的书面形式可以是纸质辞职信，也可以是电子邮件、短信等能够证明您已提出辞职的证据形式。在通知中，您应明确表达辞职意愿、辞职原因（如病情严重无法继续工作）以及预计离职日期等信息。
   • 特殊情况处理：若您的病情严重到紧急程度，无法按照上述提前通知期限履行通知义务，您可与用人单位协商一致后立即离职，或者根据实际情况向用人单位说明情况，争取用人单位的理解和同意，以尽快办理离职手续。
3. 未签合同可主张双倍工资及经济补偿：
   • 双倍工资：根据《劳动合同法》第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，若您在用人单位工作已超过一个月且未签合同，您有权要求用人单位支付未签合同期间的双倍工资差额。
   • 经济补偿：若您因用人单位存在过错（如未依法为劳动者缴纳社会保险费、未及时足额支付劳动报酬等）而辞职，或者用人单位提出解除劳动合同并与您协商一致解除劳动合同的，您有权要求用人单位支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。若您因个人原因（如病情严重无法继续工作）辞职，且用人单位不存在过错，则一般无法获得经济补偿，但您仍可要求用人单位支付未签合同期间的双倍工资差额。
4. 离职手续办理及证据保留：
   • 离职手续：在提出辞职后，您应按照用人单位的要求办理离职手续，如交接工作、归还公司财物等。同时，要求用人单位出具离职证明，以便您后续寻找新工作或办理相关手续。
   • 证据保留：在整个辞职过程中，您应保留好相关证据，如辞职通知、与用人单位的沟通记录（如短信、邮件、聊天记录等）、工资支付记录、工作证、考勤记录等，以备不时之需。若后续与用人单位发生劳动争议，这些证据将对您维护自身合法权益起到重要作用。

温馨提示：在处理辞职事宜时，建议您与用人单位保持良好沟通，尽量协商解决争议。若协商无果，您可向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。