结论：针对您母亲在厂里工作20年未签合同，现60岁被厂里辞退的情况，可以从以下几个角度进行分析和处理：一是确认劳动关系及工作年限；二是考虑未签劳动合同的法律后果；三是探讨被辞退的合法性及可能的赔偿；四是给出具体的行动建议。

1. 确认劳动关系及工作年限：

   • 尽管您母亲与厂里未签订书面劳动合同，但根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，只要存在事实上的劳动关系，即您母亲实际为厂里提供了劳动，并接受了厂里的管理，双方就构成了劳动关系。
   • 工作年限的确认可以通过工资发放记录、工作证、考勤记录、同事证言等多种方式来证明。这些证据将有助于确定您母亲在厂里的实际工作年限。

2. 未签劳动合同的法律后果：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”以及“用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。”
   • 在您母亲的情况下，由于她已经在厂里工作了20年，如果厂里从未与她签订过书面劳动合同，那么厂里可能面临支付双倍工资的法律责任（但需注意，此双倍工资的支付通常受一年仲裁时效的限制，不过对于持续未签合同的情况，部分地区的司法实践可能支持从知道或应当知道权利被侵害之日起计算，具体需结合当地司法实践）。更重要的是，您母亲有权要求厂里补签无固定期限劳动合同或获得相应的经济补偿。

3. 被辞退的合法性及可能的赔偿：

   • 如果厂里以您母亲达到退休年龄为由辞退她，这通常不构成违法辞退，因为达到法定退休年龄是劳动合同终止的法定情形之一。但是，如果厂里未按照法律规定为您母亲办理退休手续或支付相应的退休待遇，您母亲仍有权要求厂里承担相应的法律责任。
   • 如果厂里辞退您母亲的理由并非基于退休年龄，而是其他无正当理由，那么厂里可能构成违法辞退。根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条，您母亲有权要求厂里继续履行劳动合同或支付赔偿金（赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍）。经济补偿的计算公式为：经济补偿 = 工作年限 × 月工资（月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）。

4. 行动建议：

   • 首先，收集并整理能够证明您母亲与厂里存在劳动关系及工作年限的证据。
   • 其次，与厂里进行协商，尝试通过友好方式解决纠纷，如要求厂里补签无固定期限劳动合同、支付未签合同的双倍工资差额（如适用）、办理退休手续或支付相应的退休待遇等。
   • 如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求厂里承担相应的法律责任。在仲裁过程中，您需要提交充分的证据来支持您的主张。
   • 如果对仲裁结果不服，您还可以向人民法院提起诉讼，通过司法途径来维护您母亲的合法权益。

最后，由于劳动纠纷涉及的法律问题较为复杂，且具体处理方式可能因地区而异，因此建议您在处理过程中如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供更详细、更专业的法律建议。