结论：针对您母亲在厂里上班未签正式合同，到退休年龄被厂里辞退的情况，可以从劳动关系认定、经济补偿、社保缴纳及后续维权等角度进行分析。

1. 劳动关系认定：

   • 尽管您母亲未与工厂签订正式的劳动合同，但根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，只要存在事实劳动关系（即实际提供了劳动，并接受了工厂的管理和指挥，同时从工厂获得了劳动报酬），就应当视为建立了劳动关系。因此，您母亲与工厂之间很可能存在事实劳动关系。
   • 为了证明事实劳动关系的存在，可以收集一些证据，如工资条、工作证、考勤记录、同事证言等。这些证据将有助于在后续的法律程序中维护您母亲的权益。

2. 经济补偿问题：

   • 如果工厂因为您母亲达到退休年龄而终止劳动关系，且您母亲在工厂的工作年限较长，根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，工厂可能需要支付一定的经济补偿。但需要注意的是，如果是因为您母亲达到法定退休年龄而终止劳动合同，且您母亲已经开始依法享受基本养老保险待遇的，工厂则无需支付经济补偿。不过，由于您母亲未签正式合同，且可能未享受养老保险待遇，因此工厂仍可能需要支付经济补偿。
   • 经济补偿的计算通常根据您母亲在工厂的工作年限和月工资来确定。具体计算公式为：经济补偿 = 工作年限 × 月工资。其中，工作年限以您母亲在工厂的实际工作年限为准，月工资则是指您母亲在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

3. 社保缴纳问题：

   • 工厂有义务为员工缴纳社会保险，包括养老保险、医疗保险、失业保险等。如果工厂未为您母亲缴纳社会保险，您母亲有权要求工厂补缴。
   • 如果因为工厂未缴纳社会保险而导致您母亲无法享受养老保险待遇，您母亲还可以要求工厂赔偿因此造成的损失。

4. 后续维权建议：

   • 首先，建议您与工厂进行协商，尝试通过友好沟通解决问题。如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉，请求他们介入调查并调解。
   • 如果劳动监察部门的调解未能解决问题，您还可以考虑向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁裁决具有法律效力，如果工厂不履行裁决，您还可以向人民法院提起诉讼。
   • 在整个维权过程中，建议您保留好所有相关证据，如工资条、工作证、考勤记录等，以便在需要时提供证明。

额外提醒：由于您母亲已经达到退休年龄，且未签正式合同，情况可能相对复杂。因此，在处理此类问题时，建议您咨询专业律师（即向我咨询，我擅长处理婚姻家庭、刑事辩护、经济纠纷、合同纠纷、交通事故等领域的法律问题），以便更好地维护您母亲的权益。同时，也请您保持冷静和理性，通过合法途径解决问题。