针对您提出的问题，当事业单位合同制员工的合同到期后继续上班但单位没有续签合同时，这种情况通常被视为双方形成了事实劳动关系。以下是对此问题的详细解答和建议：
一、法律解读与权益保障
事实劳动关系的构成：
- 根据相关法律规定，合同到期后，如果员工继续工作且单位未提出异议，双方即构成事实劳动关系。
用人单位的责任：
- 用人单位应在用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。如果超过一个月不满一年未订立，用人单位应向劳动者每月支付二倍的工资。
续签或终止合同的规定：
- 用人单位应及时与员工协商续签合同。如果决定不续签，需提前三十日书面通知员工，或额外支付一个月工资后解除劳动关系，并依法支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式通常是按劳动者在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资。
无固定期限劳动合同的签订：
- 如果员工要求续签无固定期限劳动合同且符合法定条件（如连续工作满十年等），用人单位应予以续签。否则，用人单位可能需要承担支付二倍工资等法律责任。
二、应对措施与建议
保留证据：
- 员工应继续正常工作，并妥善保留考勤记录、工作邮件、工作任务分配记录等相关证据，以证明事实劳动关系的存在。
与用人单位沟通：
- 主动与用人单位的人力资源部门或相关负责人沟通，了解合同续签的进展和原因，表达续签合同的意愿。
依法维权：
- 如果用人单位在合理期限内仍未签订书面劳动合同或拒绝续签，员工可以依法向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
- 在申请劳动仲裁时，员工可以主张用人单位支付双倍工资、经济补偿等诉求。
注意离职手续：
- 如果员工决定离职，应提前通知用人单位，并按照公司的规定办理离职手续，以避免产生不必要的纠纷。
综上所述，当事业单位合同制员工的合同到期后继续上班但单位没有续签合同时，员工应了解自己的法律权益和应对措施。通过与用人单位的沟通、保留相关证据以及依法维权，员工可以有效地保护自己的合法权益。