当您面临事业单位聘用合同到期而单位不续签的情况时，您可以按照以下步骤来处理，以确保您的权益得到妥善保障：
一、了解法律依据
首先，您需要明确的是，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条第一项规定，劳动合同期满的，劳动合同即行终止。同时，《事业单位人事管理条例》也规定了事业单位与工作人员订立的聘用合同期限一般不低于3年，以及合同终止的相关情形。因此，事业单位在合同期满后选择不续签，从法律层面来讲是符合规定的。
二、处理流程
确认通知情况：
- 事业单位应在合同期满前一定时间内（通常是30日）书面通知您是否续签合同。若单位决定不续签，应明确告知您，并说明理由。若您未收到书面通知，可主动向单位询问。
办理工作交接：
- 合同期满后，您应按照单位要求办理工作交接手续，包括归还办公用品、资料等，确保工作的连续性和稳定性。这是您作为劳动者应尽的义务。
争取经济补偿：
- 根据《劳动合同法》规定，除非用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同而您不同意续订，否则用人单位终止固定期限劳动合同的，应向您支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式为：按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。
获取相关证明：
- 用人单位应在解除或终止劳动合同时，为您出具相关证明，并在十五日内为您办理档案和社会保险关系转移手续。这是您的合法权益，单位有义务履行。
争议解决途径：
- 若因合同期满不续签产生争议，您可先与单位协商解决；协商不成的，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁；对仲裁结果不服的，还可向人民法院提起诉讼。
三、特殊情形处理
无固定期限劳动合同：
- 若您在事业单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年，或连续订立二次固定期限劳动合同且没有法定不续签情形的，您提出续订无固定期限劳动合同的，事业单位应当与您订立。
孕期、产期、哺乳期女职工：
- 若您处于孕期、产期、哺乳期，即使合同期满，用人单位也不得随意解除劳动合同，而应顺延至相应情形消失时终止。这是对您特殊生理时期的保护。
四、注意事项
保留证据：
- 在整个处理过程中，您应保留好相关证据，如通知书、交接清单、工资条等，以备不时之需。这些证据在争议解决过程中将起到关键作用。
沟通协商：
- 双方应保持积极沟通，尽量通过协商解决问题。这不仅可以避免不必要的法律纠纷，还能维护双方的良好关系。
综上所述，当事业单位聘用合同到期而单位不续签时，您应了解法律依据、遵循处理流程、关注特殊情形处理，并注意保留证据和沟通协商。希望这些建议能对您有所帮助。