在雇佣驾驶发生交通事故且雇员承担全责的情况下，雇主与雇员对受害人的责任承担方式主要取决于事故的具体情形，但通常包括雇主承担赔偿责任、雇主与雇员承担连带责任以及雇主追偿权等几种情况。以下是对此问题的详细分析：

1. 雇主承担赔偿责任

   • 一般原则：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十二条的规定，个人之间形成劳务关系，提供劳务一方（即雇员，如司机）因劳务造成他人损害的，由接受劳务一方（即雇主）承担侵权责任。这意味着，在雇佣关系中，如果司机在执行雇佣活动过程中发生交通事故并负全责，雇主需要对外承担赔偿责任。
   • 保险赔偿：此类赔偿通常首先由保险公司在机动车第三者责任强制保险责任限额范围内予以赔偿，不足部分再由雇主承担。

2. 雇主与雇员承担连带责任

   • 特殊情况：若司机对事故的发生存在故意或重大过失（如醉酒驾驶、严重超速等明显违反交通规则和安全注意义务的行为），根据《最高人民法院关于审理人身损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》第九条的规定，雇员应与雇主承担连带赔偿责任。这意味着受害人可以选择向雇主或司机中的任何一方或双方请求赔偿。
   • 实际影响：在这种情况下，雇主和雇员都需要对受害人进行赔偿，承担了连带责任的雇主仍有权向雇员追偿其应承担的部分。

3. 雇主的追偿权利

   • 追偿条件：如果司机在交通事故中存在故意或者重大过失，雇主在承担了对外的赔偿责任后，有权向司机进行追偿，部分或全部损失可由司机承担。
   • 法律依据：这一权利同样基于《中华人民共和国民法典》第一千一百九十二条的规定，该条款不仅规定了雇主的赔偿责任，也赋予了雇主在承担侵权责任后向有故意或者重大过失的雇员追偿的权利。

4. 非执行职务行为时的责任

   • 司机自行承担责任：如果司机发生交通事故并非在执行雇佣活动，而是出于个人事务或目的，那么由司机个人承担全部责任，雇主通常不承担赔偿责任。

5. 车辆存在问题导致的责任

   • 车辆管理责任：如果交通事故的发生与车辆本身存在的问题有关，如车辆故障未及时维修、不符合安全技术标准等，且雇主作为车辆的管理者未能尽到妥善管理和维护车辆的义务，那么雇主可能需要承担相应的过错责任。

建议与注意事项：

• 在处理此类交通事故时，应及时报警并由交警部门出具交通事故责任认定书，以明确双方的责任划分。
• 雇主应确保车辆符合安全技术标准，并定期进行维护和保养，以降低因车辆问题导致的交通事故风险。
• 如果雇员存在故意或重大过失行为，雇主在承担赔偿责任后应及时行使追偿权，以维护自身合法权益。

综上所述，雇佣驾驶发生交通事故且雇员承担全责时，雇主与雇员对受害人的责任承担方式受到多种因素的影响。在实际操作中，应根据具体情况进行细致分析，并依据相关法律法规和交警部门的责任认定来确保责任划分的公正性和合理性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。