结论前置：公司不可以不给员工开辞退书，这是违反法律规定的。下面我将从法律规定、法律责任以及员工应对措施等多个角度进行详细分析。
一、法律规定明确要求书面辞退书
根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的规定，用人单位在解除或者终止劳动合同时，必须向劳动者出具解除或者终止劳动合同的证明，也就是我们通常所说的辞退书。这一规定不仅明确了双方劳动关系解除的事实、原因和时间等关键信息，更是对劳动者知情权的保障。书面辞退书是法律上的明确要求，它确保了劳动者能够清晰了解公司辞退的正式原因及具体依据。
二、公司不给出辞退书的法律责任
如果公司违反法律规定，未向劳动者出具书面辞退证明书，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十九条，由劳动行政部门责令改正；给劳动者造成损害的，还应当承担赔偿责任。这意味着，公司不仅可能面临行政处罚，还可能因违法辞退行为而承担经济赔偿责任。
三、员工应对措施
面对公司不给出辞退书的情况，员工可以采取以下措施来维护自己的合法权益：
与公司沟通协商：
- 员工可以主动与上级领导或人力资源部门负责人进行面谈，询问不给出具辞退通知书的原因，并要求按规定出具。面谈时，可以合法录音以保留证据（需确保录音行为的合法性）。
- 如果面谈无果，员工可以通过电子邮件、挂号信或快递等方式，向公司正式书面表达要求出具辞退通知书的诉求，并保留发送凭证。
积极收集证据：
- 员工应尽可能收集与辞退相关的证据，如聊天记录、电子邮件、工作交接记录等，这些可能包含关于辞退的关键信息。
- 在不违反法律法规和道德规范的前提下，员工可以记录公司内部关于辞退事宜的讨论，作为证据使用。
- 如果可能，员工还可以请知情的同事出具书面证言，但需注意沟通方式，以免给同事带来不必要的压力。
寻求外部帮助：
- 员工可以向当地劳动监察部门投诉，要求其对公司进行监督并责令改正。投诉时，应携带身份证、劳动合同及初步证据。
- 如果公司仍未提供辞退通知书或存在违法辞退行为，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，详细阐述案件事实、诉求及相关证据。
- 对仲裁裁决不服的，员工还可以在规定时间内向人民法院提起诉讼，进一步维护自身权益。
四、额外建议
- 保持冷静理性：在整个过程中，员工应保持冷静，避免采取过激行为，通过合法、合理的途径维权。
- 证据至关重要：所有收集到的证据都应妥善保存，这些证据在后续的仲裁或诉讼中将起到关键作用。
- 了解法律法规：员工应熟悉相关法律法规和程序，以便更好地维护自己的合法权益。如有需要，可以直接向我咨询相关法律问题。
综上所述，公司不可以不给员工开辞退书，这是违反法律规定的。员工在面对这种情况时，应依法行事，通过与公司沟通、积极收集证据、寻求外部帮助等步骤来维护自己的合法权益。