结论前置：公司不给辞退书，您依然有权申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
法律依据与原理
根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》以及《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者与用人单位之间若存在劳动争议，并且该争议属于法律规定的受案范围，同时劳动者有明确的仲裁请求和事实理由，即可向劳动争议仲裁委员会提出仲裁申请。辞退纠纷明确包含在此受案范围内，因此，即便没有辞退书这一直接证据，您的仲裁权利也不受影响。
申请仲裁的必要性
- 保障正常权益：辞退证明对劳动者而言至关重要，它是进行失业登记、领取失业保险金、证明工作经历及再就业的关键凭证。缺乏此证明，您的多项权益将受到严重影响。
- 举证关键性：在劳动争议仲裁或诉讼过程中，辞退证明是证实双方劳动关系已解除的核心证据。若无此证明，您可能面临举证难题，进而影响维权效果。但请放心，没有辞退书并不意味着无法举证，您可以通过其他方式收集证据。
证明辞退事实的其他证据
在没有辞退书的情况下，您可以通过收集以下证据来证明用人单位的辞退行为：
- 沟通记录：包括微信、短信、电子邮件等与用人单位负责人或人力资源部门的交流记录。这些记录中可能包含关于辞退的明确指示或暗示，是证明劳动关系解除的重要线索。
- 工作交接材料：如工作交接清单、文件移交记录等。这些通常发生在离职时，可间接证明劳动关系的解除，并表明您已按照程序进行工作交接。
- 工资发放记录：通过银行流水、工资条等查看工资发放情况。若工资停止发放且无正当理由，可能意味着劳动关系已终止，这是经济往来记录对劳动关系存续与否的客观反映。
- 同事证言：了解辞退情况的同事可作为证人提供证言。虽然证人证言的证明力相对较弱，但可以作为辅助证据，增强其他证据的说服力。
- 考勤记录：打卡记录、门禁记录等可证明您之后无法正常考勤，从而侧面反映被辞退的事实。考勤记录是日常工作管理的体现，对于证明劳动关系状态具有参考价值。
- 其他证明材料：如工作证、工作服、入职登记表、社保缴纳记录等，这些材料虽不直接涉及辞退，但能构建完整的劳动关系背景，为仲裁请求提供支持。
申请仲裁的具体流程与所需材料
- 提交仲裁申请书：您需详细陈述仲裁请求，即要求公司开具辞退证明（或要求公司支付因未开具辞退证明而造成的损失等），并清晰阐述事实和理由，包括入职时间、工作岗位、被辞退的具体情况以及公司拒绝开具辞退证明的事实等。
- 提供劳动关系证明材料：为证明您与公司之间的劳动关系，应提交如劳动合同、工资发放记录、工作证、考勤记录等相关材料。
- 补充其他证据：您还应尽可能提供与公司沟通要求开具辞退证明的聊天记录、邮件、录音等额外证据，以证明曾向公司提出过合法要求但遭拒绝。
仲裁结果的可能性与影响
若劳动争议仲裁委员会认定公司确实存在未依法出具辞退证明的违法行为，它可能会作出以下裁决：
- 要求公司立即向您出具合法的辞退证明。
- 根据实际情况，裁决公司向您支付经济补偿金或赔偿金（如因未开具辞退证明导致您无法领取失业保险金等损失）。
- 对公司的违法行为进行通报批评或处以相应罚款。
最后建议：在申请劳动仲裁前，您应尽可能全面地收集和整理上述证据，以增加仲裁请求获得支持的可能性。同时，考虑到地区和具体法律规定可能存在差异，如果您在准备过程中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。