核心结论：公立学校劳务派遣外聘教师没有续签合同却继续代课，可能存在多种原因，以下从不同角度为你详细分析。
学校方面
- 疏忽或流程延误：学校可能由于工作繁忙、人员变动等原因，在合同到期后未能及时处理续签事宜，导致教师继续代课。例如，学校负责合同管理的老师可能因休假、离职等情况，使得续签流程被搁置。这种情况下，学校并非故意不续签，而是存在管理上的疏忽。
- 对教师表现满意但未及时行动：学校对教师在合同期间的教学表现、工作态度等方面比较满意，有续签的意愿，但由于各种原因（如等待上级审批、内部决策流程较长等）未能及时完成续签手续，而教师又继续正常工作，学校也就默认了这种继续代课的状态。
- 临时用人需求：学校可能面临一些临时的用人需求，比如原教师突发疾病请假、某学科教学任务突然加重等，在合同到期后，为了不影响教学秩序，先让教师继续代课，待后续再处理合同问题。
教师方面
- 未主动提出续签或沟通：教师可能没有意识到合同已经到期，或者认为学校会主动提出续签，所以没有主动与学校沟通续签事宜，继续按照以往的工作安排进行代课。例如，一些教师可能专注于教学工作，对合同期限等事务关注不够。
- 希望继续工作但未及时跟进：教师本身希望继续在该学校任教，但由于各种原因（如不清楚续签流程、等待学校主动联系等）没有及时跟进续签事宜，导致合同到期后仍在继续代课。
劳务派遣公司方面
- 沟通协调不畅：劳务派遣公司作为教师和学校之间的中介，可能在合同到期前后没有及时与学校和教师进行沟通协调。比如，没有及时提醒学校续签合同，也没有告知教师合同到期的情况，导致教师和学校都没有采取相应的行动，教师继续代课。
- 自身管理问题：劳务派遣公司可能存在管理混乱的情况，对教师的合同管理不到位，没有建立有效的合同跟踪和提醒机制，使得合同到期后未能及时处理续签或终止事宜。
法律建议：
- 对于教师：要及时关注自己的合同期限，在合同到期前主动与学校和劳务派遣公司沟通续签事宜。如果合同到期后继续代课，要保留好相关的工作证据，如考勤记录、教学安排、工资发放记录等，以维护自己的合法权益。如果学校或劳务派遣公司长时间不处理合同问题，教师可以咨询专业律师，了解自己的权利和可行的维权途径。
- 对于学校：要加强合同管理，建立完善的合同跟踪和提醒机制，在合同到期前及时与教师和劳务派遣公司沟通续签或终止事宜。如果因特殊情况需要教师继续代课，要及时与教师和劳务派遣公司签订补充协议，明确双方的权利和义务。
- 对于劳务派遣公司：要规范自身管理，加强对教师合同的管理和跟踪，及时与学校和教师沟通协调合同事宜。在合同到期前，要提醒学校和教师续签或终止合同，避免出现法律风险。
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