核心结论：私立学校老师合同到期不续签，可从经济补偿、后续权益保障、争议解决三个角度处理，具体如下：

1. 经济补偿问题
   根据《劳动合同法》第46条，合同到期后用人单位不续签的，需向劳动者支付经济补偿。补偿标准为：每工作满1年支付1个月工资（月工资指合同终止前12个月的平均工资，含基本工资、奖金、津贴等）。例如，工作3年则补偿3个月工资。
   例外情形：若用人单位维持或提高原合同条件续签，而劳动者拒绝续签，则无需支付补偿。因此，需确认学校是否明确表示“不续签”或“降低条件续签”。

2. 后续权益保障

   • 社保与公积金转移：合同终止后，学校应在15日内办理社保、公积金账户转移手续，确保您能正常续缴。若学校拖延，可向当地社保局、公积金中心投诉。
     
   • 离职证明开具：学校必须出具离职证明（注明合同期限、岗位、终止日期等），否则可能影响您入职新单位。若学校拒开，可向劳动监察部门举报。
     
   • 竞业限制与保密义务：若原合同中有竞业限制条款（如限制入职同类学校），需确认学校是否支付补偿金。未支付补偿金的，条款对您无约束力；保密义务则不受合同终止影响，仍需遵守。

3. 争议解决途径

   • 协商：优先与学校沟通，明确不续签原因及补偿方案，保留书面沟通记录（如邮件、微信）。
     
   • 投诉：若协商无果，可向当地劳动监察大队投诉（电话12333），要求学校履行法定义务（如支付补偿、开具证明）。
     
   • 仲裁/诉讼：对补偿金额、离职证明等有争议的，可在1年内申请劳动仲裁；对仲裁结果不服的，可向法院起诉。

行动建议：

1. 立即要求学校出具书面《不续签通知书》，明确终止日期及补偿方案；
   
2. 核对工资条、银行流水，计算应得经济补偿金额；
   
3. 若学校拒绝补偿或拖延手续，及时通过投诉、仲裁维护权益。
   

如有其他细节需进一步分析（如合同特殊条款、学校态度等），可直接向我说明，我会为您定制解决方案。