在私立学校合同到期不续签的情况下，是否可以起诉需分情况讨论，具体分析如下：
一、合同到期不续签的合法性基础
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期后，用人单位或劳动者均有权选择不续签合同。这是双方行使自主选择权的表现，一般情况下不涉及违法问题。因此，如果私立学校在合同到期后选择不续签，且没有违反法律规定的特殊情形，那么这种行为本身是合法的，劳动者通常不能直接因此起诉学校。
二、可能引发诉讼的特殊情形
尽管合同到期不续签本身不违法，但在某些特殊情况下，劳动者仍有权提起诉讼：
学校未提前通知且未支付经济补偿：
- 如果劳动合同中有约定，或者根据地方性法规、学校规章制度等，学校应在合同到期前一定时间内通知劳动者是否续签，而学校未履行这一通知义务，且未支付经济补偿的，劳动者可能可以主张学校承担违约责任或赔偿损失。
- 法律依据：虽然《劳动合同法》未直接规定合同到期不续签需提前通知的义务，但部分地方性法规或学校内部规定可能有此要求。此外，如果因学校未提前通知导致劳动者遭受实际损失（如错过其他就业机会），劳动者可主张赔偿。
学校存在违法行为导致合同终止：
- 如果学校在合同履行期间存在违法行为（如拖欠工资、未缴纳社会保险等），导致劳动者被迫提出解除合同或合同无法继续履行，即使合同到期，劳动者也有权要求学校承担相应的法律责任，包括支付经济补偿、赔偿金等。
- 法律依据：根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位存在违法行为的，劳动者有权解除合同并要求赔偿。
合同中存在特殊约定：
- 如果劳动合同中有特殊约定，如“合同到期后自动续签”或“学校无正当理由不得拒绝续签”等，而学校违反了这些约定，劳动者可以依据合同条款提起诉讼。
- 法律依据：合同是双方意思自治的体现，如果合同中有明确约定，双方应遵守。
三、法律建议
审查合同条款：
- 劳动者应仔细审查劳动合同中的相关条款，特别是关于合同续签、通知义务、经济补偿等方面的约定。
收集证据：
- 如果劳动者认为学校存在违法行为或违反合同约定，应收集相关证据（如工资单、社保缴纳记录、通知邮件等）以支持自己的主张。
咨询专业律师：
- 在决定是否提起诉讼前，劳动者应咨询专业律师，了解自己的权利和义务以及诉讼的可能结果。虽然这里我作为杨毅律师已经给出了一些分析，但具体案件还需具体分析。
考虑其他解决方式：
- 除了诉讼外，劳动者还可以考虑与学校协商、申请劳动仲裁等其他解决方式，以更高效地解决纠纷。
总结来说，在私立学校合同到期不续签的情况下，劳动者是否可以起诉取决于具体情形。如果学校行为合法且符合合同约定，劳动者通常不能直接起诉；但如果学校存在违法行为、违反合同约定或未履行通知义务等特殊情形，劳动者则有权提起诉讼。如有具体法律问题，欢迎直接向我咨询。