结论前置：父母要求断绝关系多年后，仍然可以起诉要求子女支付赡养费，法律上并不承认父母与子女之间可以“断绝关系”的说法，子女对父母的赡养义务是法定的，不因父母与子女之间的任何声明或协议而免除。
详细分析：
法律义务的持续性：
- 根据我国法律，子女对父母负有法定的赡养义务，这一义务是持续存在的，不因时间流逝或父母与子女之间的任何声明、协议而改变。即使父母曾经表示要“断绝关系”，这并不构成法律上的有效声明，子女仍然需要履行赡养义务。
赡养费的支付条件：
- 父母在年老、丧失劳动能力或生活困难时，有权要求子女支付赡养费。这一权利并不因父母与子女之间的过去行为（如要求断绝关系）而丧失。
- 赡养费的支付标准通常根据子女的经济能力、父母的实际需要以及当地的生活水平等因素来确定。
诉讼时效的考虑：
- 在法律上，赡养费的支付请求并不受诉讼时效的限制。也就是说，无论父母与子女之间“断绝关系”了多久，父母都有权在需要时提起诉讼，要求子女支付赡养费。
实际案例与司法实践：
- 在司法实践中，法院通常会根据具体情况来判决子女是否需要支付赡养费以及支付的金额。即使父母与子女之间曾经有过不愉快的经历，法院也会从保障老年人合法权益的角度出发，作出公正的判决。
法律建议：
- 对于子女：如果父母要求支付赡养费，子女应该首先了解自己的法律义务，并根据自己的经济能力和父母的实际需要来协商支付金额。如果无法协商一致，父母有权提起诉讼，子女应该积极应诉，并尊重法院的判决。
- 对于父母：如果子女拒绝支付赡养费，父母可以收集相关证据（如自己的经济状况、子女的经济能力等），并向法院提起诉讼。在诉讼过程中，父母应该如实陈述事实，并提供充分的证据来支持自己的主张。
可能后果：
- 如果子女拒绝支付赡养费且法院判决子女需要支付，子女可能会面临强制执行的风险，包括但不限于工资扣划、财产查封等。
- 如果父母在诉讼过程中提供虚假证据或陈述虚假事实，可能会面临法律责任，包括但不限于罚款、拘留等。
总之，父母与子女之间的关系是法律上不可割断的血缘关系，子女对父母的赡养义务是法定的、持续的。如果父母要求支付赡养费，子女应该积极履行自己的法律义务，或者通过法律途径来解决争议。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。