结论前置：
- 一般情况下，断绝关系并不能免除赡养费的支付义务。赡养父母是子女的法定义务，这一义务不会因为双方声称“断绝关系”而消除。
- 特殊情况下，如子女被合法收养，则可能免除对生父母的赡养义务，但这必须基于合法有效的收养程序。
详细分析：
一、法律层面的分析
赡养义务的法定性：
- 根据《中华人民共和国民法典》和《中华人民共和国老年人权益保障法》的相关规定，成年子女对父母负有赡养、扶助和保护的义务。这一义务是法定的，不因双方的主观意愿或声明而改变。
- 赡养义务包括经济上供养、生活上照料和精神上慰藉父母，以及照顾父母的特殊需要。这是子女对父母应尽的基本责任。
断绝关系的法律效果：
- 在法律上，父母与子女之间的血缘关系是无法断绝的。即使双方声明断绝关系，这种关系仍然存在，赡养义务也不因此消除。
- 口头或书面的“断绝关系”协议，在法律上是不具备效力的。因为赡养义务是由法律强制规定的，其核心目的在于确保父母在年老、缺乏劳动能力或者生活陷入困境时，能够得到子女的妥善照料和必要的经济支持。
特殊情况的考虑：
- 唯一可能免除赡养义务的情况是子女被他人合法收养。当收养关系依法成立后，养子女与生父母之间的权利和义务会因收养关系的建立而自然消除。
- 但这种情况必须基于合法有效的收养程序，而非自行声明断绝关系。如果收养程序不合法或未完成，养子女仍然需要对生父母承担赡养义务。
二、道德层面的分析
- 传统美德与伦理责任：
- 赡养父母不仅是法律规定的义务，也是中华民族的传统美德。从伦理道德的角度来看，子女有责任关心、照顾父母，并给予他们应有的关爱和支持。
- 这种责任不仅体现在物质上的供养，还包括精神上的陪伴和慰藉。即使双方关系紧张或存在矛盾，子女也不应因此拒绝履行赡养义务。
三、法律责任与后果
- 法律途径追索赡养义务：
- 如果子女拒绝履行赡养义务，父母有权通过法律途径来维护自己的权益。例如，可以向法院提起诉讼，要求子女履行赡养责任。
- 法院会根据具体情况依法作出判决，并可能强制子女承担相应的赡养义务。如果子女拒不执行判决，还可能面临法律制裁。
四、实际建议
- 对于父母：如果子女拒绝履行赡养义务，可以收集相关证据（如子女收入证明、自己生活困难证明等），并向法院提起诉讼要求子女支付赡养费。
- 对于子女：应认识到赡养父母是法定义务和道德责任，不应因个人情绪或利益而拒绝履行。如果确实存在困难或矛盾，可以尝试与父母沟通协商或寻求第三方调解帮助。
总结：断绝关系并不能免除子女的赡养义务。无论从法律还是道德的角度来看，子女都应积极履行赡养责任，为父母提供必要的经济支持和生活照料。如果遇到相关问题或纠纷，建议及时咨询专业律师以获取更具体的法律建议和帮助。