劳务派遣员工受伤时，与存在劳动关系的公司是劳务派遣公司。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律关系及责任主体认定
劳动关系确认：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条，劳务派遣单位是法定的用人单位，与被派遣劳动者之间存在劳动关系。这意味着，劳务派遣员工虽然在实际用工单位工作，但其劳动合同是与劳务派遣公司签订的，因此劳动关系也存在于两者之间。
责任主体划分：
- 劳务派遣公司责任：作为用人单位，劳务派遣公司需承担工伤保险责任。这包括为员工缴纳工伤保险、在员工受伤时申请工伤认定、支付工伤待遇等。如果劳务派遣公司未依法为员工缴纳工伤保险，那么在员工发生工伤时，劳务派遣公司需按照工伤保险待遇项目和标准自行支付费用。
- 用工单位责任：虽然用工单位与劳务派遣员工之间不存在直接的劳动关系，但根据《中华人民共和国劳动合同法》第九十二条，如果用工单位给被派遣劳动者造成损害，应与劳务派遣单位承担连带赔偿责任。这通常涉及用工单位未提供安全工作环境、未进行必要安全培训等过错情况。
二、工伤认定与赔偿流程
工伤认定：
- 劳务派遣公司应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向社会保险行政部门提出工伤认定申请。如果劳务派遣公司未按时申请，员工或其近亲属、工会组织可在1年内直接提出申请。
- 申请工伤认定时，需要提交工伤认定申请表、劳动关系证明材料、医疗诊断证明或职业病诊断证明书等材料。
劳动能力鉴定：
- 工伤职工经治疗伤情相对稳定后，可申请劳动能力鉴定，以确定伤残等级和相应的赔偿标准。
赔偿申请：
- 携带工伤认定决定书、劳动能力鉴定书等资料，员工可以向相关部门申请工伤保险待遇。如果已缴纳工伤保险，大部分赔偿将由工伤保险基金支付；如果未缴纳，则由劳务派遣公司支付。
- 赔偿项目包括医疗费用、停工留薪期工资、伤残津贴等。如果员工因工死亡，其遗属还可以领取丧葬补助金、一次性工亡补助金和供养亲属抚恤金。
三、实际案例与注意事项
- 实际案例：假设某劳务派遣员工在用工单位工作时受伤，经鉴定为工伤。此时，劳务派遣公司作为用人单位，应负责申请工伤认定并支付相关待遇。如果用工单位在事故中存在过错，如未提供安全的工作环境，那么用工单位也需与劳务派遣公司承担连带赔偿责任。
- 注意事项：
- 劳务派遣单位与用工单位可以在劳务派遣协议中约定损害赔偿的分担方式，但这种约定不能对抗受伤员工的直接求偿权。
- 劳务派遣员工在工伤期间享有相应的工资福利待遇，具体标准按法律规定执行。
总结与建议：劳务派遣员工受伤时，与存在劳动关系的公司是劳务派遣公司。在处理此类纠纷时，建议首先确认劳动关系，并了解工伤认定和赔偿流程。如果遇到复杂情况或争议，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议和帮助。