核心结论：若公司工作三年多中途劳动合同断签，劳动者可依据不同情况主张相应权益，包括要求签订无固定期限劳动合同、主张未签合同期间的双倍工资差额以及经济补偿等。以下是具体分析：

1. 要求签订无固定期限劳动合同

• 法律依据：根据《劳动合同法》第十四条规定，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年的；连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的等情况，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，也应当订立无固定期限劳动合同。
• 具体分析：如果劳动者在公司已经连续工作三年多，中途断签劳动合同，但之前已经连续工作满一年未签合同，此时视为已订立无固定期限劳动合同，劳动者有权要求公司按照无固定期限劳动合同的相关规定履行义务，如提供稳定的工作岗位、合理的薪酬待遇等。若劳动者符合其他应当订立无固定期限劳动合同的情形，也有权要求公司签订无固定期限劳动合同。

2. 主张未签合同期间的双倍工资差额

• 法律依据：《劳动合同法》第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
• 具体分析：如果中途断签劳动合同的时间在一个月以上不满一年，劳动者可以要求公司支付这期间的双倍工资差额。例如，劳动者在公司工作三年多，中途有半年时间未签劳动合同，那么劳动者可以主张这半年期间公司应支付的双倍工资差额（扣除已支付的正常工资部分）。需要注意的是，双倍工资差额的仲裁时效为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。

3. 主张经济补偿（若因断签导致离职等情况）

• 法律依据：《劳动合同法》第四十六条规定，有下列情形之一的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿：（一）劳动者依照本法第三十八条规定解除劳动合同的；（二）用人单位依照本法第三十六条规定向劳动者提出解除劳动合同并与劳动者协商一致解除劳动合同的；（三）用人单位依照本法第四十条规定解除劳动合同的；（四）用人单位依照本法第四十一条第一款规定解除劳动合同的；（五）除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，依照本法第四十四条第一项规定终止固定期限劳动合同的；（六）依照本法第四十四条第四项、第五项规定终止劳动合同的；（七）法律、行政法规规定的其他情形。
• 具体分析：如果因为劳动合同中途断签，导致劳动者依据《劳动合同法》第三十八条规定解除劳动合同（如公司未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等），或者公司提出解除劳动合同等情况，劳动者有权要求公司支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

4. 收集证据以维护自身权益

• 具体建议：劳动者在主张上述权益时，需要收集相关证据来证明自己与公司存在劳动关系以及断签劳动合同的事实。可以收集的证据包括工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言、工作邮件、聊天记录等。这些证据将有助于劳动者在劳动仲裁或诉讼中证明自己的主张，提高胜诉的几率。