结论：公司在与员工签订劳动合同后，并非可以随意辞退员工。辞退的合法性及是否需要支付经济补偿或赔偿金，取决于具体的辞退情形和法律规定。以下从多个角度为您详细分析：
一、合法辞退的情形
协商解除：
- 用人单位与劳动者协商一致，可以解除劳动合同。这种情况下，双方应签订书面协议，明确解除劳动合同的时间、经济补偿等事项。
过失性辞退（无需支付经济补偿）：
- 试用期间不符合录用条件：依据《劳动合同法》第三十九条，若劳动者在试用期间被证明不符合录用条件，用人单位可解除劳动合同且无需支付经济补偿。
- 严重违反规章制度：劳动者若严重违反用人单位的规章制度，用人单位同样可解除劳动合同且不支付经济补偿。
- 严重失职、营私舞弊：因劳动者严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害，用人单位有权解除劳动合同且不支付经济补偿。
- 双重劳动关系影响工作：若劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响或拒不改正，用人单位可解除劳动合同且不支付经济补偿。
- 劳动合同无效：以欺诈、胁迫等手段订立的劳动合同无效，用人单位可解除劳动合同且不支付经济补偿。
- 被依法追究刑事责任：劳动者被依法追究刑事责任时，用人单位可解除劳动合同且不支付经济补偿。
无过失性辞退（需支付经济补偿）：
- 患病或非因工负伤：劳动者患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作，用人单位提前通知或额外支付一个月工资后可解除劳动合同，但需支付经济补偿。
- 不能胜任工作：劳动者不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任，用人单位提前通知或额外支付一个月工资后可解除劳动合同，并支付经济补偿。
- 客观情况变化：劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，致使合同无法履行，且未能就变更内容达成协议，用人单位可解除劳动合同并支付经济补偿。
经济性裁员（需支付经济补偿）：
- 因企业破产重整、生产经营困难等原因需要裁减人员，且符合法定条件，用人单位可裁减人员并支付经济补偿。
二、违法辞退的情形及后果
若公司辞退员工不符合上述法定情形，即构成违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。例如，若员工工作年限为3年，正常经济补偿为3个月工资，则违法辞退时需支付6个月工资作为赔偿金。
三、经济补偿金和赔偿金的计算标准
- 经济补偿金：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
- 赔偿金：为经济补偿标准的二倍。
四、建议与总结
公司在辞退员工时，务必谨慎行事，确保辞退行为符合法律法规的规定。首先，应查阅劳动合同中关于辞退的条款；其次，需对照《劳动合同法》等相关法律法规，判断辞退行为的合法性；最后，根据具体情况决定是否支付经济补偿或赔偿金，以避免不必要的法律纠纷和经济损失。
同时，员工也应了解自己的权益，若遭遇违法辞退，可及时申请劳动仲裁或提起诉讼维护自己的合法权益。如果您在合同纠纷或劳动工伤方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。