针对您因为老人生病而面临是否提出离职或辞职的困境，以下是我为您提供的详细分析和建议：
一、法律权益分析
医疗期保护：
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，您作为员工，在老人生病需要照顾的情况下，可能享有相应的医疗期（具体时长视工作年限而定，一般为3-24个月）。
- 在医疗期内，单位不得解除劳动合同，且需支付病假工资或疾病救济费，这是您的合法权益。
劳动合同到期处理：
- 如果您的劳动合同即将到期，但您仍处于医疗期内，根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同应延续至医疗期结束。
- 单位无权在医疗期内单方面要求您离职或辞职。
二、应对策略
明确拒绝不合理要求：
- 如果单位提出让您自行辞职的要求，您应明确拒绝，并通过书面形式告知单位，您在医疗期内依法享有劳动关系存续权。
- 保留好与单位的沟通记录，如邮件、短信等，作为后续维权的证据。
主动协商解决方案：
- 您可以与单位协商，提议签订医疗期顺延协议，明确劳动关系延续至医疗终结。
- 同时，要求单位按规定支付病假工资，并协商调整岗位或弹性工作安排，以便您能更好地照顾老人。
启动法律程序维护权益：
- 如果协商未果，您可以向劳动监察部门投诉（电话12333），要求查处单位的违法行为。
- 您还可以申请劳动仲裁，主张恢复劳动关系及补发工资差额。
- 在仲裁结果支持您的诉求后，您还可以进一步提起民事诉讼。
三、注意事项
证据收集：
- 收集好医疗证明文件，如诊断书、病历、用药记录等。
- 保留好与单位的沟通记录、工资发放凭证以及原劳动合同及未续签的相关证明。
避免被动局面：
- 不要签署任何包含“自愿离职”、“双方无争议”等条款的文件，以免陷入被动。
- 注意劳动仲裁的时效为一年，从您知道权利被侵害之日起计算。
寻求法律援助：
- 如果您经济困难，可以申请法律援助（拨打12348咨询），以获得专业的法律帮助。
四、个人建议
- 在处理此事时，保持冷静和理性，不要因情绪激动而做出不利于自己的决定。
- 尽量与单位进行友好协商，寻求双方都能接受的解决方案。
- 如果协商无果，不要害怕启动法律程序，这是维护自己合法权益的有效途径。
综上所述，您在老人生病需要照顾的情况下，享有医疗期的保护，单位无权要求您自行辞职。您应明确拒绝不合理要求，主动协商解决方案，并在必要时启动法律程序维护自己的权益。希望这些建议能对您有所帮助。