您好，非常理解您现在因为家中老人病重而想要辞职的焦急心情。针对您的情况，我可以从法律和实际操作两个层面为您详细解答。
首先，从法律层面来说，根据《劳动合同法》第三十七条的规定：“劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。劳动者在试用期内提前三日通知用人单位，可以解除劳动合同。”这意味着，在您没有签订服务期协议和竞业限制协议的情况下，您只需要提前三十日以书面形式通知用人单位，就可以解除劳动合同，无需得到用人单位的批准。这是法律赋予劳动者的权利，用人单位应当尊重并执行。
其次，从实际操作层面来说，虽然法律上规定了劳动者的辞职权利，但为了确保辞职过程的顺利进行，以及维护您与用人单位之间的良好关系，我建议您采取以下步骤：
提前准备书面辞职申请：明确说明您因为家中老人病重需要照顾，无法继续在公司工作，特此申请辞职。同时，注明您希望离职的日期，这个日期应当符合法律规定的提前三十日通知的要求。
与用人单位沟通：在提交书面辞职申请之前或之后，与您的直接上级或人力资源部门进行沟通，解释您的情况和辞职的原因。虽然法律上不需要用人单位的批准，但良好的沟通有助于减少误解和冲突。
关注离职手续的办理：根据《劳动合同法》第五十条的规定，用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。您应当关注这些手续的办理情况，确保自己的权益不受损害。
应对可能的问题：如果用人单位以各种理由拖延或拒绝办理离职手续，或者要求您赔偿不合理的费用，您可以向当地劳动监察部门投诉，要求责令改正。如果因此给您造成了损害，用人单位还应承担赔偿责任。
最后，我想说的是，虽然工作很重要，但家人的健康和幸福更是无价之宝。在您面临这样的困难时刻，我相信您的用人单位也会理解并支持您的决定。希望您能够顺利处理好辞职事宜，全心全意地照顾好家中的老人。如果您在辞职过程中遇到任何问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。