结论：公司能否因员工打架后检查出抑郁症而开除员工，需根据具体情况判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、抑郁症是否构成解除劳动合同的合法理由
一般情况：
- 抑郁症属于精神类疾病，但并非直接构成用人单位可以解除劳动合同的法定理由。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同需符合法定情形，如严重违反用人单位规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等。
特殊情况：
- 如果员工因抑郁症导致无法继续履行劳动合同约定的义务，且经过医疗期治疗后仍不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，那么用人单位在提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，可以解除劳动合同。但这一过程需严格遵循法定程序，并确保员工的合法权益不受侵害。
二、打架行为与解除劳动合同的关系
打架行为的性质：
- 打架行为如果违反了用人单位的规章制度，且情节严重，可能构成用人单位解除劳动合同的合法理由。但这一判断需基于用人单位的规章制度是否明确规定了打架行为为严重违纪行为，以及该规章制度是否经过民主程序制定并公示。
打架行为与抑郁症的关联：
- 如果打架行为是导致员工患上抑郁症的直接原因，且该行为严重违反了用人单位的规章制度，那么用人单位在解除劳动合同时，需考虑打架行为与抑郁症之间的因果关系，以及这一因果关系是否足以构成解除劳动合同的合法理由。然而，在大多数情况下，打架行为与抑郁症之间可能不存在直接的因果关系，或者这种因果关系难以证明。
三、医疗期内的保护
医疗期的定义：
- 医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。在医疗期内，用人单位不得解除劳动合同，并应支付病假工资或疾病救济费。
抑郁症的医疗期：
- 如果员工因抑郁症需要停止工作进行治疗，且该抑郁症被认定为非因工负伤，那么员工应享受相应的医疗期保护。在医疗期内，用人单位不得解除劳动合同。
四、法律建议
对于员工：
- 如果因打架后检查出抑郁症而面临被公司开除的风险，首先应了解自己的医疗期情况，并确保在医疗期内公司不得解除劳动合同。
- 同时，可以积极与公司沟通，说明自己的情况，并寻求合理的解决方案。如果公司坚持解除劳动合同，可以依法向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
对于公司：
- 在考虑解除与员工的劳动合同时，应严格遵守法律法规的规定，确保解除劳动合同的合法性和合理性。
- 如果员工因抑郁症无法继续工作，且经过医疗期治疗后仍不能从事原工作或另行安排的工作，公司可以依法解除劳动合同，但需提前通知员工并支付相应的经济补偿。
总结：公司能否因员工打架后检查出抑郁症而开除员工，需根据具体情况判断。在处理此类问题时，建议双方保持沟通，并依法维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。