结论：派遣工病故后，家里老人是否有赡养费，需根据具体情况判断，主要取决于派遣工是否因工死亡以及是否符合供养亲属抚恤金的领取条件。
分析说明：
若派遣工因工死亡：
- 根据《工伤保险条例》的相关规定，职工因工死亡，其直系亲属按照规定可以从工伤保险基金领取丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金。
- 供养亲属抚恤金：这是支付给因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属的。如果家里老人符合这一条件（如年龄较大、无劳动能力且依靠派遣工生前提供主要生活来源），则有权领取供养亲属抚恤金。
- 计算公式（以供养亲属抚恤金为例）：供养亲属抚恤金=职工本人工资×一定比例（配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或者孤儿每人每月在上述标准的基础上增加10%）。核定的各供养亲属的抚恤金之和不应高于因工死亡职工生前的工资。
若派遣工非因工死亡：
- 在这种情况下，家里老人通常无法直接从工伤保险基金领取供养亲属抚恤金。
- 但是，如果派遣工生前有遗嘱或者与老人之间存在其他法律上的赡养关系（如通过法律程序确立的赡养义务），老人可能有权根据遗嘱或相关法律规定获得一定的经济支持。
- 此外，如果派遣工所在单位有相关的员工福利政策或集体合同中约定了非因工死亡员工的家属可以获得一定的补助或抚恤，老人也可能有权获得相应的经济支持。
行动建议：
- 了解具体情况：首先，需要了解派遣工的死亡原因（是否因工死亡）以及家里老人的具体情况（如年龄、劳动能力、是否依靠派遣工生前提供主要生活来源等）。
- 咨询相关部门或单位：如果派遣工是因工死亡，建议家属及时咨询当地的社会保险部门或工伤保险机构，了解具体的申领流程和所需材料。如果派遣工非因工死亡，可以咨询派遣工所在单位或相关部门，了解是否有其他形式的补助或抚恤。
- 准备相关材料：根据咨询结果，准备相应的申领材料，如死亡证明、亲属关系证明、无劳动能力证明等。
- 寻求法律帮助：如果在申领过程中遇到任何问题或纠纷，建议及时寻求法律帮助，以维护自己的合法权益。
后续思考：
- 在处理此类问题时，除了关注法律层面的规定外，还需要考虑人情世故和道德伦理的因素。即使法律上没有明确的赡养义务，从道德和伦理的角度出发，我们也应该尽可能地给予老人关心和帮助。
- 对于派遣工所在单位来说，建立健全的员工福利政策和集体合同制度，不仅可以提高员工的归属感和满意度，还可以在员工遭遇不幸时给予其家属一定的经济支持和精神慰藉。