结论：职工故意犯罪后，公司是否可以不开除员工，主要取决于职工是否已被依法追究刑事责任，以及公司的规章制度和法律规定。若职工已被人民法院判决有罪，公司通常可以依据法律规定解除劳动合同；若仅涉嫌犯罪而尚未被追责，或公司基于其他考虑不想开除员工，则公司有权选择不开除，但需注意潜在的法律风险。
详细分析：
已被依法追究刑事责任的情况：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，当员工因故意犯罪被人民法院判刑或免予刑事处罚时，即被视为“被依法追究刑事责任”，公司有权依据此法律规定单方解除劳动合同，且无需支付经济补偿。这是因为员工的犯罪行为已经得到了法律的确认和惩罚，公司有权据此解除与其的劳动关系。
涉嫌犯罪但尚未被追责的情况：
- 如果员工只是涉嫌故意犯罪，尚处于侦查、审查起诉阶段，并未被人民法院依法追究刑事责任，那么公司不能直接以此为由解除劳动合同。因为在此阶段，员工是否构成犯罪及是否需要承担刑事责任尚未确定，公司应等待法律程序的最终结果再做决定。若公司在此阶段选择开除员工，可能面临违法解除劳动合同的法律风险，如支付经济赔偿金等。
公司基于其他考虑选择不开除的情况：
- 即便员工已被依法追究刑事责任，公司也有权基于自身经营需要、员工个人情况（如工作表现、家庭状况等）或其他合理考虑，选择不开除员工。但在此情况下，公司应谨慎评估法律风险，并确保处理过程符合法律法规的要求，避免侵犯员工的合法权益。例如，公司可以与员工协商变更劳动合同内容，如调整工作岗位、降低薪资等，以适应员工的新情况。
公司规章制度的作用：
- 除了法律规定外，公司的规章制度也是处理员工违法犯罪问题的重要依据。如果公司的规章制度中明确规定了员工违法犯罪属于严重违反规章制度的行为，并且该规章制度经过了民主程序制定、内容合法、已向员工公示或告知，那么公司可以依据规章制度对员工进行相应处理。但即便如此，公司仍需确保处理过程符合法律法规的要求，避免侵犯员工的合法权益。
建议与注意事项：
- 公司在处理违法犯罪员工时，应遵循法定程序，如提前通知员工、听取员工申辩等，以确保员工的合法权益得到保障。
- 如果公司选择不开除已被依法追究刑事责任的员工，应与员工进行充分沟通，明确双方的权利和义务，并考虑签订书面协议以避免未来可能出现的纠纷。
- 公司在制定或修改规章制度时，应确保规章制度的内容合法、合理，并经过民主程序制定和公示或告知员工，以确保其法律效力。
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