结论：员工涉嫌故意伤害但不起诉，用人单位在符合法定条件的情况下仍然可以开除该员工。

分析说明：

1. 不起诉不等于无罪：

   • 不起诉是检察机关对案件进行审查后，认为不符合起诉条件或认为不需要追究刑事责任而作出的决定。这并不意味着员工没有实施故意伤害行为，也不意味着其行为不违反公司规章制度或法律法规。

2. 用人单位的开除权：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，员工严重违反用人单位的规章制度的，或者严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害的，用人单位可以解除劳动合同。
   • 如果员工的故意伤害行为（即使未被起诉）严重违反了公司的规章制度，或者给公司造成了重大损害，公司有权依据劳动合同法开除该员工。

3. 具体情形分析：

   • 规章制度明确：如果公司的规章制度中明确规定了员工不得实施暴力行为或故意伤害他人，且该行为属于严重违反规章制度的行为，那么公司可以依据规章制度开除员工。
   • 造成重大损害：即使规章制度中没有明确规定，但如果员工的故意伤害行为给公司造成了重大损害（如声誉损失、经济损失等），公司也可以依据劳动合同法开除员工。
   • 社会公德与职业道德：员工的故意伤害行为还可能违反社会公德和职业道德，如果这种行为严重影响了公司的形象和声誉，公司也有权考虑开除该员工。

4. 程序合法性：

   • 公司在开除员工时，必须遵循合法的程序，如提前通知员工、听取员工的申辩意见、进行内部调查等。如果公司未遵循合法程序开除员工，可能面临违法解除劳动合同的法律风险。

行动建议：

• 审查规章制度：公司应首先审查其规章制度中是否明确规定了员工不得实施暴力行为或故意伤害他人，以及该行为是否属于严重违反规章制度的行为。
• 评估损害程度：公司应评估员工的故意伤害行为是否给公司造成了重大损害，包括声誉损失、经济损失等。
• 遵循合法程序：如果公司决定开除员工，必须遵循合法的程序，确保开除决定的合法性和有效性。
• 咨询专业律师：在处理此类复杂情况时，公司可以咨询专业律师的意见，以确保其决策的合法性和合理性。

后续思考依据：

• 在处理员工涉嫌故意伤害但不起诉的情况时，公司应综合考虑员工的违法行为、公司规章制度、损害程度以及合法程序等多个因素。
• 如果公司决定开除员工，应确保开除决定的合法性和合理性，以避免可能的法律风险。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。