结论：公司未通知本人直接开除违纪员工的行为，其合法性需根据具体情况判断，一般情况下不合法，但若员工违纪行为严重到符合法定解除劳动合同的情形，且公司能提供充分证据，则可能合法。
详细分析：
一般情况下的不合法性：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在解除劳动合同时，应当遵循法定程序，包括事先通知工会（如有）、向劳动者说明解除理由等。若公司未履行这些程序，直接开除员工，则可能构成违法解除劳动合同。
- 此外，即使员工存在违纪行为，公司也应先进行调查核实，给予员工申辩的机会，并根据违纪的严重程度和公司的规章制度来决定是否解除劳动合同。直接开除可能剥夺了员工的这些权利。
特定情况下的合法性：
- 如果员工的违纪行为严重到符合《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的情形，如严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等，且公司能够提供充分的证据证明员工的违纪行为，那么公司有权直接解除劳动合同，无需事先通知员工。
- 但即便如此，公司也应确保解除劳动合同的决定是基于充分的事实和法律依据，并且遵循了公司内部的规章制度和程序。
法律建议：
- 对于员工：如果公司未通知本人直接开除，且员工认为自己的违纪行为并未达到严重程度或公司未遵循法定程序，员工可以与公司协商要求恢复劳动关系或支付赔偿金。若协商无果，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。
- 对于公司：在解除劳动合同时，公司应确保遵循法定程序和公司内部的规章制度，给予员工充分的申辩机会，并保留好相关证据。若员工违纪行为严重，公司应依法解除劳动合同，并支付相应的经济补偿（如适用）。
可能后果：
- 如果公司违法解除劳动合同，员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。赔偿金的计算通常根据员工在公司的工作年限和工资水平来确定。
- 如果公司合法解除劳动合同，但未支付经济补偿（如适用），员工也有权要求公司支付。
举例说明：
- 假设员工因轻微迟到被公司直接开除，且公司未事先通知员工或给予申辩机会。这种情况下，公司的行为很可能构成违法解除劳动合同，员工可以要求公司恢复劳动关系或支付赔偿金。
- 假设员工因严重违反公司规章制度（如盗窃公司财物）被公司直接开除，且公司能够提供充分的证据证明员工的违纪行为。这种情况下，公司的行为可能合法，但应确保遵循了法定程序和公司内部的规章制度。
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