您好，关于您提出的“开除后该不该补发奖金”的问题，这确实是一个涉及劳动权益的重要议题。以下是我为您详细梳理的解答：
首先，我们需要明确奖金的性质。根据国家统计局颁布的《关于工资总额组成的规定》，奖金属于劳动报酬的组成部分，而非企业单方给予的福利。这意味着，只要劳动者在对应的劳动期间内提供了符合约定的劳动，并且符合奖金的发放条件，用人单位就应当支付奖金，不应以其离职为由拒绝支付。
接下来，我们分析开除后是否应补发奖金的情况，这主要取决于以下几个因素：
劳动合同或公司规章制度：
- 如果劳动合同或公司规章制度中明确规定了奖金的发放条件，且这些条件不因员工离职而失效，那么即使员工被开除，只要其满足了发放条件，就有权获得奖金。
- 反之，如果劳动合同或规章制度中明确规定了离职员工不享受奖金，或者将“在职”作为奖金发放的必要条件，那么员工在离职后可能无法获得奖金。但这种情况需要特别注意，如果离职是由于公司的违法行为（如非法解雇）导致的，那么公司不能简单地以离职为由拒绝支付奖金。
员工离职的原因：
- 如果员工是因为公司违法行为（如非法解雇）而离职，且该员工在离职前已经完成了符合奖金发放条件的工作，那么公司应当支付奖金。因为员工的离职并非出于自愿，而是由于公司的过错导致的。
- 如果员工是主动离职，且离职时间在奖金发放之前，那么是否支付奖金就需要根据劳动合同或公司规章制度的具体规定来判断。
员工是否符合奖金发放条件：
- 无论员工是否离职，只要其符合奖金的发放条件（如完成了特定的工作任务、达到了特定的绩效标准等），就有权获得奖金。
现在，我们结合具体案例来进一步说明：
- 在王某的案例中，虽然他在奖金发放前离职，但由于他已经完成了年度教学任务，且学生成绩优异，符合领取奖金的条件，因此法院判决学校应支付奖金。
- 在陈家诺的案例中，虽然公司规定离职员工不享受年终奖，但由于陈家诺的离职是由于公司非法解雇导致的，且他符合年终奖的发放条件（根据公司以往的做法和他在职期间的表现），因此法院判决公司应支付年终奖。
- 在林某某的案例中，虽然他在年终奖发放前离职，但法院认为年终奖属于工资的构成部分，且他符合奖金的发放条件（即为公司提供了劳动），因此判决公司应补发年终奖。
综上所述，开除后是否应补发奖金，需要根据劳动合同、公司规章制度以及员工离职的原因和是否符合奖金发放条件等多方面因素来综合判断。如果员工认为自己的权益受到了侵害，可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径来维护自己的权益。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。