结论：劳务派遣员工请假半个月被开除是否合法，不能一概而论，需根据请假性质、公司规章制度以及相关法律法规综合判断。以下从不同角度进行分析：
一、请假性质与规章制度
合法请假：
- 如果员工请假是按照公司规章制度，经过合法程序（如提前申请、获得批准等）进行的，且请假事由符合法律法规或公司规定（如病假、事假等），那么公司单方面开除员工可能构成违法解除劳动合同。
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同应当有合法依据，如员工严重违反公司规章制度、严重失职等。单纯因员工请假半个月而开除，通常不符合这些法定解除条件。
违规请假：
- 如果员工请假未按照公司规章制度进行，如未经批准擅自离岗、虚假请假等，且这种行为严重违反了公司规章制度，那么公司有权依据规章制度开除员工。
- 但即便如此，公司也需确保规章制度的合法性，即规章制度需经过民主程序制定、公示或告知员工，且内容不违反法律法规的强制性规定。
二、法律法规依据
《劳动合同法》：
- 该法规定了用人单位解除劳动合同的法定条件，如员工严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害等。
- 如果公司无法证明员工请假半个月符合这些法定解除条件，那么开除行为可能构成违法解除，员工有权要求公司支付赔偿金。
《劳务派遣暂行规定》：
- 该规定对劳务派遣用工进行了规范，包括劳务派遣单位与用工单位的职责、劳务派遣协议的签订、劳务派遣员工的权益保护等。
- 如果劳务派遣员工被开除，劳务派遣单位和用工单位需共同承担责任，确保员工的合法权益不受侵害。
三、实际操作建议
对于员工：
- 如果认为公司开除行为违法，可以收集相关证据（如请假记录、公司规章制度、开除通知等），向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付赔偿金或恢复劳动关系。
- 在申请仲裁前，也可以尝试与公司协商解决，寻求双方都能接受的解决方案。
对于公司：
- 在开除员工前，应确保有合法依据，并遵循公司规章制度和法律法规的规定。
- 如果员工请假行为确实违反了公司规章制度，且规章制度合法有效，那么公司可以依据规章制度进行开除处理，但需确保程序合法、证据充分。
进一步思考：在实际操作中，劳务派遣员工的权益保护往往涉及多个主体（如劳务派遣单位、用工单位、员工本人），因此处理起来可能更为复杂。如果遇到类似问题，建议及时咨询专业律师，以便更准确地判断公司行为的合法性，并维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。