针对您提出的问题，我首先给出核心结论：

1. 未签合同不影响仲裁申请：即使未与工人签订劳动合同，工人仍然有权申请劳动仲裁，且公司可能面临支付双倍工资等法律责任。
2. 工人造成经济亏损的处理：公司需根据具体情况，通过合法途径追究工人的责任，但需注意证据收集和法律程序的合规性。

接下来，我将从多个角度详细分析这两个问题：

一、未签合同与仲裁申请

法律背景： 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。若未订立书面劳动合同，用人单位需承担一定的法律责任，如支付双倍工资等。同时，劳动者在发生劳动争议时，有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。

法律建议：

• 公司角度：尽管未签合同，但公司仍应积极应对工人的仲裁申请。首先，公司需确认与工人之间是否存在事实劳动关系，这通常通过工资支付记录、工作证、考勤记录等证据来证明。其次，公司应准备相关证据，以应对工人可能提出的双倍工资等诉求。
• 工人角度：工人有权申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。在申请仲裁时，工人需提供能够证明与用人单位存在劳动关系的证据，以及具体的仲裁请求和事实理由。

可能法律后果： 若公司被认定未与工人签订书面劳动合同，且无法提供充分证据反驳工人的诉求，则公司可能面临支付双倍工资、补缴社会保险等法律责任。

二、工人造成经济亏损的处理

法律背景： 工人在工作期间给公司造成经济亏损，公司能否要求工人赔偿，需根据具体情况来判断。一般来说，如果工人存在故意或重大过失行为，且该行为与公司经济损失之间存在直接因果关系，则公司有权要求工人承担相应的赔偿责任。

法律建议：

• 公司角度：
  • 证据收集：公司需收集能够证明工人存在故意或重大过失行为的证据，如工作记录、监控视频、证人证言等。
  • 法律程序：公司应通过合法途径追究工人的责任，如与工人协商赔偿、向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼等。在追究责任时，公司需确保法律程序的合规性，避免侵犯工人的合法权益。
• 工人角度：
  • 了解自身权益：工人应了解自己在劳动争议中的权益和义务，以便在面临公司索赔时能够做出合理的应对。
  • 积极协商：如果工人确实存在过错并给公司造成了经济损失，工人可以与公司积极协商赔偿事宜，以达成双方都能接受的解决方案。

可能法律后果： 若公司能够证明工人存在故意或重大过失行为，并给公司造成了经济损失，则公司有权要求工人承担相应的赔偿责任。赔偿金额通常根据工人的过错程度、公司的实际损失以及双方的协商结果等因素来确定。如果工人拒绝赔偿或双方无法达成一致意见，则公司可以通过法律途径来维护自己的权益。

最后，我想强调的是：在处理这类劳动争议时，公司和工人都应保持冷静和理性，通过合法途径来解决问题。如果您在处理过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。