劳务派遣员工连续签订三次合同后，并不自动转为用工单位的无固定期限合同员工，但有权要求与劳务派遣单位签订无固定期限劳动合同。以下是对此问题的详细分析：
一、法律规定及分析
《劳动合同法》关于无固定期限劳动合同的规定：
- 根据《劳动合同法》第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等），续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这一规定同样适用于劳务派遣员工与劳务派遣单位之间的关系。
劳务派遣的特殊性：
- 劳务派遣员工是与劳务派遣单位签订劳动合同，而非用工单位。因此，即便与劳务派遣单位连续签订了三次合同，并符合条件可与劳务派遣单位签订无固定期限劳动合同，这并不意味着他们就成为用工单位的正式员工。派遣员工的劳动关系始终在劳务派遣单位，与用工单位之间是基于劳务派遣协议建立的用工关系。
二、实际操作与权利
要求签订无固定期限劳动合同的权利：
- 在满足法定条件的情况下（即连续签订两次固定期限劳动合同，且没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形），劳务派遣员工在第三次续签劳动合同时，有权要求与劳务派遣单位签订无固定期限劳动合同。
用工单位的角色：
- 用工单位并不直接参与劳务派遣员工与劳务派遣单位之间劳动合同的签订。因此，劳务派遣员工连续签订三次合同，并不直接影响其与用工单位之间的关系。用工单位继续按照劳务派遣协议使用派遣员工，无需承担与派遣员工签订无固定期限劳动合同的义务。
三、特殊情况与考虑
企业自主用工管理：
- 在实际操作中，一些企业可能出于自身用工管理和发展需求，会在员工符合一定条件（如工作表现优秀、具备相应技能等）且派遣期限届满后，考虑将劳务派遣员工转为正式员工。但这种转变是企业自主用工管理的行为，并非基于法律强制规定。
协商与安排：
- 如果用工单位与劳务派遣单位协商一致，并且符合相关法律法规的规定，那么将劳务派遣员工转为用工单位的正式员工是可以实现的。但这种转变并不是基于签订三次合同的必然结果，而是各方另行协商安排的结果。
四、建议与行动
了解自身权利：
- 劳务派遣员工应充分了解自己的权利和法律规定，确保在满足法定条件时能够要求与劳务派遣单位签订无固定期限劳动合同。
与劳务派遣单位沟通：
- 在合同续签前，与劳务派遣单位进行沟通，明确自己的意愿和要求，确保双方对合同续签和签订无固定期限劳动合同的事宜达成一致。
寻求法律帮助：
- 如果劳务派遣单位拒绝签订无固定期限劳动合同或存在其他违法行为，劳务派遣员工可以通过法律途径维护自己的合法权益。
综上所述，劳务派遣员工连续签订三次合同后，并不自动转为用工单位的无固定期限合同员工，但有权要求与劳务派遣单位签订无固定期限劳动合同。在实际操作中，应综合考虑各种因素来判断和处理相关事宜。如果你有更多关于劳务派遣或劳动合同的问题，可以直接向我咨询。