用人单位在劳动者第二次劳动合同到期且不想续签时，需依法支付经济补偿金，并完成终止劳动合同的相关手续。具体分析如下：

1. 法律背景与规定
   根据《劳动合同法》第十四条，连续订立两次固定期限劳动合同后，若劳动者提出续订无固定期限劳动合同，用人单位应当续订（除非劳动者存在严重违纪等法定解除情形）。但若用人单位主动提出不续签，则属于劳动合同终止的法定情形，需按《劳动合同法》第四十六条、第四十七条支付经济补偿金。

2. 经济补偿金计算标准

   • 补偿年限：按劳动者在本单位工作的年限计算，每满1年支付1个月工资；6个月以上不满1年的按1年计算；不满6个月的支付半个月工资。
     
   • 月工资标准：劳动合同终止前12个月的平均工资（含奖金、津贴等货币性收入），但若月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资3倍的，按3倍封顶计算，且补偿年限最高不超过12年。
     
   • 示例：劳动者工作5年，月工资8000元（未超当地社平工资3倍），则补偿金为5×8000=40000元。

3. 操作流程与注意事项

   • 提前通知：用人单位应在劳动合同到期前30日以书面形式通知劳动者不续签，避免因未通知导致违法终止（需支付赔偿金，即2倍经济补偿金）。
     
   • 办理离职手续：包括工作交接、结清工资、出具终止劳动合同证明、办理社保转移等。
     
   • 禁止违法操作：不得通过调岗降薪、恶意刁难等方式迫使劳动者自行离职，否则可能构成违法解除，需支付赔偿金。

4. 特殊情形提示

   • 劳动者要求续签无固定期限合同：若劳动者符合《劳动合同法》第十四条第二款条件（如连续工作满10年、连续订立两次固定期限合同等）且提出续签无固定期限合同，用人单位拒绝的属于违法终止，需支付赔偿金（2倍经济补偿金）。
     
   • 医疗期、三期女职工等特殊保护：若劳动者处于医疗期、孕期/产期/哺乳期等法定保护期，用人单位不得终止劳动合同，需顺延至相应情形消失后再处理。

建议：用人单位在操作前应全面审查劳动者情况（如工龄、工资、是否符合续签无固定期限条件等），并保留书面通知、补偿金支付凭证等证据，以降低法律风险。如有疑问，可直接向我咨询具体操作细节。