结论：在第三次续签了固定期限的劳动合同后，等合同到期，劳动者是否能向用人单位申请赔偿金，这主要取决于具体情况。若用人单位存在违法行为或违约行为，劳动者有权主张相应赔偿；若不存在这些情况，则可能无法获得赔偿。以下是对此问题的详细分析：
一、无固定期限劳动合同的签订与赔偿
应当签订无固定期限劳动合同的情形：
- 根据《劳动合同法》第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同时，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 赔偿情形：若用人单位在第三次合同到期后，拒绝续签无固定期限劳动合同，且劳动者符合上述条件，则用人单位的行为构成违法终止劳动合同。根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位应支付赔偿金，标准为经济补偿的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
用人单位续签固定期限劳动合同的情形：
- 若劳动者明确要求签订无固定期限劳动合同，而用人单位仍签订固定期限劳动合同，劳动者可向用人单位主张每月支付二倍的工资，最多支付11个月。
二、其他赔偿情形
除了与无固定期限劳动合同相关的赔偿情形外，还有以下几种情况劳动者可以要求用人单位给予补偿或赔偿：
- 合同内容违法：如合同中约定的条款违反法律法规（如工资低于最低工资标准、工作时间超过法定时间等），劳动者可以要求用人单位按照法律规定进行补偿或调整。
- 用人单位违约：如果用人单位在合同履行过程中违反了合同约定（如未按时支付工资、未提供约定的福利待遇等），劳动者可以要求用人单位承担违约责任，并可能获得相应的赔偿。
三、不可主张赔偿的情形
- 劳动者主动选择：若劳动者在第三次续签合同时主动提出订立固定期限劳动合同，用人单位按照要求签订，不存在违法行为，劳动者不能要求赔偿。
- 劳动者过错：如劳动者严重违反用人单位规章制度、失职造成重大损害、患病或非因工负伤无法从事工作等，用人单位有权不签订无固定期限劳动合同，且无需支付赔偿。
四、建议与行动
- 审查合同与法规：首先，劳动者应仔细审查自己的劳动合同以及相关的法律法规，确定自己是否符合签订无固定期限劳动合同的条件。
- 与用人单位沟通：若劳动者认为自己符合签订无固定期限劳动合同的条件，而用人单位却拒绝续签或仍签订固定期限劳动合同，劳动者应与用人单位进行沟通，明确表达自己的诉求。
- 寻求法律帮助：若沟通无果，劳动者可以寻求法律帮助，包括咨询律师或向劳动监察部门投诉，以维护自己的合法权益。
示例说明：假设员工小张在某单位已经连续工作了六年，且已经连续签订了三次固定期限劳动合同。在第三次合同到期前，小张向单位提出了签订无固定期限劳动合同的请求，但单位却拒绝并表示不再续签。在此情况下，小张有权向单位主张赔偿金，因为单位的行为构成了违法终止劳动合同。
总之，劳动者在签了三次固定期限劳动合同后是否能要求用人单位赔偿，需根据具体情况判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。