结论前置：关于第三份合同签订的还是固定期限合同是否可以申请赔偿的问题，这主要取决于您是否符合签订无固定期限劳动合同的条件，以及用人单位的行为是否违法。若您符合签订无固定期限劳动合同的条件而用人单位拒绝签订，您有权要求赔偿。
详细分析：
符合签订无固定期限劳动合同的条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，当劳动者与用人单位连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有《劳动合同法》第三十九条（如试用期间不符合录用条件、严重违反规章制度等）和第四十条第一项（患病或非因工负伤不能从事工作）、第二项（不能胜任工作经过培训或调整仍不能胜任）规定的情形时，续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 若您满足上述条件，且在第三次签订劳动合同时提出了签订无固定期限劳动合同的要求，而用人单位拒绝签订，那么用人单位的行为就构成了违法。
赔偿情形与标准：
- 当用人单位违反法律规定，不与劳动者订立无固定期限劳动合同时，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位应当自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。
- 赔偿金额的计算方式通常是以您的月工资为基数，乘以应当签订无固定期限劳动合同之日起至实际签订或劳动关系终止之日止的月份数，再乘以二（因为支付的是二倍工资）。但需注意，这里的月工资是指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资，且若月工资高于当地职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按职工月平均工资三倍数额支付，且支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
维权途径：
- 若您遇到上述情况，首先可以尝试与用人单位进行友好协商，要求用人单位依法签订无固定期限劳动合同并支付赔偿。
- 若协商不成，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提供劳动合同、工资条、工作证等相关证据以证明自己符合签订无固定期限劳动合同的条件且用人单位拒绝签订。仲裁时效为一年，自您知晓或应当知晓权益受到侵害之日起计算。
- 若对仲裁裁决结果不满意，您还可以在规定时间内向人民法院提起诉讼，进一步提供证据支持自己的诉求。
举例说明：
假设您在某单位已经连续工作了八年，且已经连续签订了两次固定期限劳动合同，且没有上述提到的违法违纪或不能胜任工作等情形。在第三次签订劳动合同时，您提出了签订无固定期限劳动合同的要求，但用人单位拒绝签订，并继续与您签订了固定期限劳动合同。那么，从应当签订无固定期限劳动合同之日起，用人单位就应当向您每月支付二倍的工资作为赔偿。若您的月工资为5000元，且从应当签订无固定期限劳动合同之日起至您实际离职或签订无固定期限劳动合同之日止共为6个月，那么用人单位应当向您支付的赔偿金额为：5000元/月 × 6月 × 2 = 60000元（此处为简化计算，未考虑月工资是否高于当地职工月平均工资三倍的情况）。
总结与建议：
因此，若您在第三次签订劳动合同时符合签订无固定期限劳动合同的条件而用人单位拒绝签订，您不仅有权要求赔偿，还应了解相关法律法规并通过合法途径积极维权。在维权过程中，保留好相关证据至关重要。若您对此有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。