结论前置：在连续签订三次固定期限劳动合同后，劳动者是否能要求赔偿，主要取决于用人单位的行为是否违反了《劳动合同法》的相关规定。以下是几种可能的情况及相应的法律分析：
用人单位违法终止劳动合同
- 情形：根据《劳动合同法》第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同后，若劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，且提出续订无固定期限劳动合同的，用人单位应当续订。若用人单位违反此规定，违法终止劳动合同，则构成违法解除。
- 赔偿标准：依照《劳动合同法》第八十七条，用人单位需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
- 实例说明：假设劳动者在单位工作了10年，月工资为5000元，且用人单位违法解除了劳动合同。那么，劳动者应获得的经济补偿为10年×5000元/月=50000元，由于用人单位违法解除，赔偿金为经济补偿的二倍，即100000元。
劳动合同期满，用人单位不续签或降低条件续签而劳动者不同意
- 情形：第三次固定期限劳动合同期满后，若用人单位决定不再续签，或者提出降低原劳动合同约定的条件续订劳动合同，而劳动者不同意续订的，用人单位应当支付经济补偿金。
- 赔偿标准：同样依据《劳动合同法》第四十七条，用人单位应按劳动者在本单位工作的年限支付经济补偿金，计算方式同上。
用人单位依法解除劳动合同
- 情形一：若劳动者存在《劳动合同法》第三十九条规定的严重违规情形（如严重违反用人单位的规章制度、严重失职造成重大损害等），用人单位可依法解除劳动合同，且无需支付经济补偿或赔偿金。
- 情形二：若劳动者符合《劳动合同法》第四十条规定的情形（如患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作等），用人单位提前三十日书面通知或额外支付一个月工资后可解除劳动合同，并需支付经济补偿金，计算方式同上。
特殊规定与高额补偿限制
- 若劳动者的月工资高于当地职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按职工月平均工资三倍数额支付，且支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
法律建议：
- 劳动者在签订劳动合同时，应仔细阅读合同条款，特别是关于合同期限、续订条件以及解除劳动合同的条款，确保自身权益得到保障。
- 若用人单位存在违法终止劳动合同、不续签或降低条件续签等行为，劳动者应及时收集证据，如劳动合同、工资单、工作证明等，以便在维权时提供有力支持。
- 劳动者在维权过程中，可以通过与用人单位协商、向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁等方式来维护自己的合法权益。
可能法律后果：
- 若用人单位违法终止劳动合同或未按规定支付经济补偿金，劳动者有权要求用人单位支付赔偿金或经济补偿金，并可能通过法律途径追究用人单位的法律责任。
- 若劳动者存在违规行为或不符合续订无固定期限劳动合同的条件，用人单位有权依法解除劳动合同，且无需支付赔偿金或经济补偿金。
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