结论前置：第三次劳动合同到期后单位不续签，劳动者是否享有赔偿，需根据具体情况判断。若劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件而单位拒绝续签，则需支付赔偿金；若不符合该条件或劳动者存在过错，则可能仅需支付经济补偿或无需支付。

详细分析

一、符合应当签订无固定期限劳动合同的情形

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。

2. 赔偿责任：

   • 若单位在此情况下拒绝续签，属于违法行为，需按照《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定，以经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

3. 经济补偿计算方式：

   • 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
   • 计算公式：\(经济补偿 = 工作年限 \times 月工资\)（工作年限不足一年按一年计，不足六个月按半个月计）
   • 赔偿金计算：\(赔偿金 = 经济补偿 \times 2\)
   • 示例：员工小李在某单位工作了5年3个月，月工资为8000元，若单位违法不续签，小李可获赔的经济补偿为\(5.5 \times 8000 = 44000\)元，赔偿金为\(44000 \times 2 = 88000\)元。

二、不符合应当签订无固定期限劳动合同的情形

1. 劳动者过错：

   • 若劳动者存在《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的严重违反用人单位规章制度、严重失职等情形，单位可以解除劳动合同且无需支付经济补偿。

2. 劳动者不能胜任工作：

   • 若劳动者不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位仍不能胜任，单位提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同，并按工作年限支付经济补偿。

3. 其他合法解除情形：

   • 如双方协商一致不续签、劳动者主动提出不续签且用人单位无过错等，单位可能也无需支付经济补偿金。但若用人单位在续签时降低了原劳动合同约定的条件（如降低工资、减少福利待遇等），导致劳动者不同意续签，用人单位应当支付经济补偿。

三、特殊保护情形

• 若劳动者在单位连续工作满十年，且距离法定退休年龄不足五年，即使不符合上述无固定期限劳动合同的条件，单位在第三次合同到期后不续签，也可能需要支付经济补偿金，以体现对长期服务员工的特殊保护。

四、维权途径

• 若劳动者认为自己的权益受到侵害，应首先与单位协商；协商不成时，可以向当地的劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。

总结与建议

第三次劳动合同到期后单位不续签，劳动者是否享有赔偿，需根据具体的法律法规和实际情况来判断。劳动者应了解自己的权益，并在必要时采取合适的措施来维护自己的合法权益。若遇到此类问题，建议直接向我咨询，以便根据具体情况提供更详细的法律建议和帮助。