结论：没签合同且闯红灯出事的情况下，老板是否有责任，需根据具体情况判断，主要看老板与员工之间是否存在雇佣关系或劳动关系，以及老板对事故的发生是否存在过错。以下从不同角度进行分析：
一、存在雇佣关系或劳动关系的情况
法律关系认定：
- 即便没有签订书面合同，只要双方存在事实上的雇佣关系或劳动关系（如员工实际为老板工作，受老板管理，老板支付报酬等），老板就可能需承担相应责任。
责任划分：
- 员工责任：员工闯红灯违反交通法规，若因此导致事故，员工自身需承担主要或全部责任，具体取决于事故的具体情况和责任认定。
- 老板责任：
- 管理责任：如果老板在管理上存在疏忽，如未对员工进行交通安全教育、未提供符合安全标准的交通工具等，老板可能需承担一定的管理责任。
- 雇主责任：根据《中华人民共和国民法典》中关于雇主责任的规定，如果员工在执行工作任务过程中造成他人损害，老板作为雇主可能需要承担赔偿责任。但在此案例中，员工是闯红灯出事，若未造成他人损害，则主要涉及员工自身的损害赔偿问题，此时若老板存在过错（如未提供安全保障），可能需承担部分赔偿责任。
具体案例：
- 假设员工在为老板送货途中闯红灯发生事故，导致自己受伤。若老板未对员工进行交通安全培训，且未提供安全的交通工具，老板可能需承担一定的赔偿责任。
二、不存在雇佣关系或劳动关系的情况
法律关系认定：
- 如果双方不存在事实上的雇佣关系或劳动关系，如员工只是临时为老板帮忙，且老板未支付报酬或仅支付少量报酬作为感谢，那么老板可能不需承担雇佣关系或劳动关系下的责任。
责任划分：
- 在此情况下，员工闯红灯出事主要视为个人行为，员工需自行承担事故责任。除非老板存在其他过错（如指示员工闯红灯等），否则老板不需承担责任。
三、特殊情况考虑
合同内容：
- 即便双方签订了合同，如果合同中未明确约定交通安全责任或相关条款无效，仍需根据实际情况和法律规定判断责任归属。
第三方责任：
- 如果事故涉及第三方（如其他车辆、行人等），还需根据交通事故责任认定书来确定各方的责任比例。
建议：
- 对于员工：在工作中应严格遵守交通法规，确保自身安全。如发生事故，应及时报警并保留相关证据，以便后续维权。
- 对于老板：应加强对员工的安全教育和管理，提供符合安全标准的交通工具和工作条件。如发生事故，应积极配合调查并承担相应的责任。
如有更多细节或疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。