结论：公务员犯罪被判刑后，任免机关开除公职一般不需要单独立案调查，但需依据生效法律文书和法定程序作出决定。
以下是具体分析：

1. 法律依据与程序要求
   根据《中华人民共和国公职人员政务处分法》第十四条和《行政机关公务员处分条例》第十七条，公务员因故意犯罪被判处管制、拘役、有期徒刑以上刑罚（含宣告缓刑）的，应当给予开除处分。此处“应当”表明这是法定强制义务，无需任免机关额外启动调查程序，只需以生效的刑事判决书作为处分依据即可。
   例如：若公务员因贪污罪被法院判处有期徒刑3年，判决书生效后，任免机关可直接依据该文书作出开除决定，无需再对犯罪事实进行重复调查。

2. 例外情形：免予刑事处罚或单独调查的必要性
   若公务员被法院判决免予刑事处罚（即认定有罪但不予刑罚），则任免机关需根据《政务处分法》第十四条第三款启动独立调查程序，查明其违法情节轻重后，再决定是否给予开除处分。
   例如：公务员因故意伤害罪被法院判决免予刑事处罚，但任免机关调查发现其存在严重违反职业道德的行为，仍可依法给予开除处分。

3. 程序合法性保障
   即使无需单独立案调查，任免机关仍需履行法定程序：

   • 事实核对：确认刑事判决书已生效，且判决认定的犯罪事实与公务员身份相关；
     
   • 告知权利：书面通知被处分人拟开除的事实、理由及依据，并告知其陈述、申辩权；
     
   • 决定送达：作出开除决定后，需在1个月内书面送达本人，并报上级机关备案。
     

实务建议：
若您或家人涉及此类情况，建议重点关注两点：

1. 确认刑事判决书是否已生效（如是否在上诉期内）；
   
2. 监督任免机关是否依法履行了告知、送达等程序义务。
   如有疑问，可直接向我咨询具体流程或权益保障问题。