核心结论：开车回家压死自家鸡，主要涉及财产损失处理及可能存在的法律责任问题，具体分以下几种情况。
从民事财产损失角度
- 自家鸡属于个人财产，压死自家鸡造成了自身财产的减损。如果希望获得一定补偿来弥补损失，从家庭内部协商角度，可以和家庭其他成员沟通，看是否能够从家庭共同财产中适当拨出一部分作为对自己损失的弥补，这主要基于家庭内部的情感和实际情况来处理，没有严格的法律强制要求。
- 若鸡是用于家庭生产经营，比如养殖售卖等，此次压死鸡的行为导致了一定的经营损失。可以统计一下被压死鸡的价值，包括购买成本、养殖成本（如饲料、防疫等费用）以及预期可获得的收益等，和家庭成员共同商量如何分担这部分损失，或者从家庭经营资金中合理安排后续的补救措施，例如重新购买鸡苗继续养殖等。
从是否存在过错及法律责任角度
- 如果是在正常驾驶过程中，由于不可预见、不可避免的因素（如鸡突然窜出，且自己已经采取了合理的避让措施但仍未能避免压到鸡）导致压死鸡，这种情况下一般不存在过错，不需要承担法律责任。只是自身遭受了财产损失，按照上述民事财产损失的方式处理即可。
- 要是因为自己驾驶时存在疏忽大意（如未仔细观察路况、超速行驶等）而压死鸡，虽然从法律上对于压死自家鸡一般没有专门的法律条文来规定具体的处罚，但这种疏忽大意的驾驶行为本身是违反交通法规的。如果这种行为还对公共安全造成了潜在威胁或者已经引发了其他后果（比如差点撞到行人、其他车辆等），可能会面临交通管理部门的处罚，如警告、罚款等。此时，除了处理自家鸡的损失问题，还需要对自己的交通违法行为承担相应责任。
从保险理赔角度（如果车辆购买了相关保险）
- 一般情况下，车辆保险主要是针对车辆对第三方造成的人身伤害和财产损失进行理赔，自家鸡不属于第三方财产，所以通常不在车辆保险的理赔范围内。不过，有些特殊的保险条款或者附加险可能会有不同的规定，可以仔细查看自己所购买保险的合同条款，或者直接联系保险公司咨询，看是否能够获得一定的理赔。
如果后续在处理过程中遇到任何法律方面的疑问或者纠纷，都可以直接向我咨询。