政府确实有权利监督工伤科，尤其是在复议撤销原工亡不予认定书并要求重新做出行政行为的情境下。以下从多个角度对此问题进行详细分析：
一、政府监督的法律依据
行政复议法：根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，行政复议机关在受理行政复议申请后，有权对原行政行为进行审查，并在认为原行政行为违法或不当的情况下，撤销、变更或确认原行政行为违法，并可以责令被申请人重新作出具体行政行为。这一过程中，行政复议机关（通常为上级政府或相关部门）实际上就在对原行政机关（如工伤科）的行为进行监督。
工伤保险条例：虽然《工伤保险条例》主要规定了工伤保险的认定、待遇等具体内容，但其中也隐含了政府对工伤保险工作的监督职责。例如，条例中规定了社会保险行政部门负责工伤保险工作，而社会保险行政部门通常属于政府的一部分，因此政府通过其下属部门对工伤保险工作进行监督是合理的。
二、政府监督的具体表现
复议过程中的监督：在复议撤销原工亡不予认定书并要求重新做出行政行为的案例中，政府（通过行政复议机关）实际上在对工伤科的认定行为进行审查，并判断其是否合法、合理。如果工伤科的认定行为存在违法或不当之处，政府有权撤销该认定书，并要求工伤科重新作出认定。
日常工作的监督：除了复议过程中的监督外，政府还可以通过其下属部门（如社会保险行政部门）对工伤科的日常工作进行监督。这种监督可能包括定期检查、专项督查、投诉处理等多种形式，以确保工伤科能够依法、公正、高效地履行职责。
三、政府监督的意义
保障劳动者权益：政府对工伤科的监督有助于确保工伤认定工作的公正性和准确性，从而保障劳动者的合法权益。如果工伤科的认定行为存在违法或不当之处，政府的监督可以及时发现并纠正这些问题，防止劳动者的权益受到侵害。
维护社会稳定：工伤认定工作关系到劳动者的切身利益和社会稳定。如果工伤科在认定过程中存在不公或腐败现象，可能会引发社会不满和矛盾。政府的监督可以及时发现并处理这些问题，维护社会稳定和和谐。
四、实际操作中的建议
加强沟通协作：工伤科应加强与政府相关部门的沟通协作，及时汇报工作进展和存在的问题，以便政府能够更好地进行监督和指导。
完善内部管理：工伤科应完善内部管理制度，加强人员培训和管理，提高认定工作的准确性和公正性，减少政府监督的干预和纠正。
积极应对复议和诉讼：如果工伤科的认定行为被复议机关撤销或要求重新作出，工伤科应积极应对复议和诉讼程序，认真分析原因并采取措施加以改进，以避免类似问题的再次发生。
如有任何关于司法行政或劳动工伤方面的法律问题，可以直接向我咨询。