结论：个体工商户若未与员工签订劳动合同并违法辞退员工，将面临支付未签订劳动合同的双倍工资赔偿以及违法解除劳动合同的赔偿金。具体责任需根据实际情况综合确定。
一、未签订书面劳动合同的法律责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
计算方式：
- 赔偿从用工满一个月的次日起算，至双方签订书面劳动合同或用工满一年前一日止。
- 若用工满一年仍未签订书面劳动合同，则视为已订立无固定期限劳动合同，此时无需再支付双倍工资，但此前未签合同期间的双倍工资仍需支付。
- 计算公式：双倍工资差额 = 月工资 × 未签合同月数（最多11个月）。
计算基数：
- 赔偿以劳动者的应得工资为标准，包括计时工资、计件工资及奖金、津贴等货币性收入。
- 若劳动者解除或终止劳动合同前12个月的平均工资低于当地最低工资标准，按最低工资标准计算；工作不满12个月，则按实际月数计算平均工资。
二、违法辞退员工的法律责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，若个体工商户违法解除劳动合同，需按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
经济补偿计算：
- 经济补偿依据劳动者在本单位工作年限确定，每满一年支付一个月工资作为补偿；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资作为补偿。
- 计算公式：经济补偿 = 月工资 × 工作年限（满6个月按1年计算，不满6个月按0.5年计算）。
赔偿金计算：
- 赔偿金为经济补偿的二倍。
- 计算公式：赔偿金 = 经济补偿 × 2。
- 举例：若劳动者在个体工商户处工作2年3个月，月工资5000元，则经济补偿为2.5×5000=12500元，赔偿金为12500×2=25000元。
三、合法辞退无需赔偿的情形
若个体工商户能证明辞退员工符合《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的情形，如劳动者试用期间不符合录用条件、严重违反规章制度等，则个体工商户无需支付赔偿金及未签合同的双倍工资。
四、员工维权的建议与途径
证据收集：
- 员工应收集工作证、考勤记录、工资支付记录（如银行转账记录）、工作群聊天记录、业务往来文件等证据，以证明与个体工商户存在劳动关系及工作时长等事实。
协商与仲裁：
- 员工可先与个体工商户协商赔偿事宜，协商不成的，可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
诉讼维权：
- 对仲裁结果不服的，员工可向法院提起诉讼，依法维护自身合法权益。
五、个体工商户的应对措施
依法签订劳动合同：
- 确保在用工之日起一个月内与员工签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
合法合规辞退员工：
- 在辞退员工时，确保辞退理由合法且符合《劳动合同法》的规定，避免违法解除劳动合同的风险。
了解法律法规：
- 加强法律法规的学习，提高法律意识，确保在处理劳动关系时依法行事。
积极应对纠纷：
- 若遇到劳动纠纷，应积极收集证据，配合相关部门调查处理，以维护自身合法权益。
总结：个体工商户在未签劳动合同情况下辞退员工，其赔偿责任需根据是否签订书面劳动合同、辞退行为的合法性以及劳动者的工作年限和月工资等因素综合确定。员工在维权过程中应注重证据收集，并可通过协商、仲裁或诉讼等途径来维护自身合法权益。个体工商户则应依法签订劳动合同，确保辞退行为的合法性，以避免不必要的法律风险。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。