公司未与员工签署劳动合同并将其辞退，公司需承担以下责任：

1. 支付二倍工资差额：

   • 根据《劳动合同法》规定，若公司自用工之日起超过1个月不满1年未与员工签订书面劳动合同，员工有权主张自用工满1个月的次日起至离职日的二倍工资差额，最多可主张11个月。
   • 例外情况：若员工为高管（如人力资源负责人）且未举证曾要求签订合同，或用工满1年后未签合同但视为订立无固定期限劳动合同的情况，员工仍可主张首年11个月的二倍工资。

2. 支付违法辞退的赔偿金：

   • 若公司无合法理由辞退员工，如未提前通知、无严重违纪证据等，需按经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。经济补偿按员工在本单位工作的年限计算，每满1年支付1个月工资，不满6个月支付0.5个月工资，二倍赔偿金即“2N”。

3. 其他权益主张：

   • 员工可向社保部门投诉要求公司补缴在职期间的社保。
   • 若公司拖欠工资，员工可通过仲裁或诉讼追讨。

4. 维权步骤：

   • 收集证据：包括劳动合同索要记录、辞退通知、工资凭证、工作记录等。
   • 申请劳动仲裁：向公司所在地或劳动合同履行地仲裁委提交申请，主张二倍工资及赔偿金。
   • 诉讼：对仲裁结果不服的，可在15日内向法院起诉。

注意事项：

• 时效限制：员工需在离职后1年内主张二倍工资差额。
• 协商优先：建议与公司协商解决，以避免冗长的法律程序。

综上所述，公司未与员工签署劳动合同并将其辞退，需承担支付二倍工资差额、违法辞退的赔偿金以及其他相关权益的责任。员工应依法维权，通过收集证据、申请劳动仲裁或诉讼等途径维护自身合法权益。如有进一步法律问题，可直接向我咨询。