公司辞退未签劳动合同的员工，可能面临支付二倍工资、经济补偿金或赔偿金等法律责任，具体取决于辞退的合法性与员工工作年限等因素。以下是对这一问题的详细分析：
一、未签订书面劳动合同的二倍工资赔偿
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
计算期间与基数：
- 计算期间：从用工之日起满一个月的次日开始计算，至补订书面劳动合同的前一日结束。若满一年仍未签订，则二倍工资的计算时间最长为11个月。
- 计算基数：通常以劳动者正常出勤的应发工资为计算基础，不包括加班工资、非常规性奖金等。
实例说明：
- 假设员工小李于2023年1月1日入职某公司，公司一直未与其签订书面劳动合同。2023年12月1日，小李被辞退。在此情况下，小李可主张2023年2月1日至2023年12月1日（若未补签合同）期间的二倍工资差额，但实际计算最长不超过11个月。
二、违法解除劳动关系的赔偿责任
违法解除的情形：
- 若公司无故辞退未签劳动合同的员工，且该员工无过错，则构成违法解除劳动合同。
赔偿责任：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 经济补偿标准：按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的按一年计算；不满六个月的支付半个月工资。这里的月工资指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
实例说明：
- 继续以小李为例，若其被违法辞退时已在该单位工作11个月，则公司应支付的经济补偿为1个月工资（因不满一年按一年算），又因为是违法辞退，所以需支付2倍，即2个月工资作为赔偿金。若小李月工资为5000元，则公司需支付10000元赔偿金。
三、合法解除劳动关系的情形与经济补偿
合法解除的情形：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，若员工存在严重违反规章制度、严重失职等法定过错情形，用人单位可合法解除劳动合同且无需支付经济补偿金或赔偿金。
经济补偿的例外：
- 即使合法辞退，若符合《劳动合同法》第四十条、第四十一条等规定的情形（如员工患病不能从事原工作、经济性裁员等），公司仍需支付相应的经济补偿。
四、维权途径与建议
协商：
投诉：
- 可向当地劳动监察部门投诉，由其对用人单位进行调查处理。
仲裁：
- 若协商无果，员工可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求支付未签合同的二倍工资、赔偿金或经济补偿等。在申请仲裁时，建议准备充分证据材料，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明与用人单位存在劳动关系及实际收入情况。
诉讼：
总结来说，公司辞退未签劳动合同的员工时，需根据具体情况判断赔偿责任。无论是未签订劳动合同的赔偿还是违法辞退的赔偿，都应严格遵循相关法律法规的规定进行处理。若你面临此类问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。