结论：母亲不能直接通过写遗嘱的方式将儿子翻新但登记在父亲名下的房子指定由某人继承。该房产的继承问题需根据具体情况，结合法定继承或遗嘱继承的相关规定来处理。

分析说明：

1. 房产归属问题：

   • 首先，需要明确的是，房产虽然是由儿子翻新的，但登记在父亲的名下，从法律角度来看，该房产通常被视为父亲的财产（除非有证据证明存在借名买房、代持等特殊情况）。

2. 继承方式：

   • 法定继承：如果父亲没有留下遗嘱，那么该房产将按照法定继承的方式进行处理。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，法定继承的第一顺序继承人包括配偶、子女、父母。因此，母亲、儿子以及其他可能的继承人（如父亲的父母，如果还在世）都有权继承该房产的一部分。
   • 遗嘱继承：如果父亲留下了遗嘱，并且遗嘱中明确指定了该房产的继承人，那么该房产将按照遗嘱进行继承。但需要注意的是，遗嘱必须符合法律规定的形式和实质要件，否则可能被认定为无效。

3. 母亲写遗嘱的问题：

   • 母亲不能直接通过写遗嘱的方式将该房产指定由某人继承，因为该房产并非母亲的财产，而是父亲的财产（或视为父亲的财产）。母亲只能对自己的财产或者自己有权处分的财产通过遗嘱进行处分。

4. 特殊情况处理：

   • 如果儿子能够提供充分的证据证明翻新房产的资金全部或部分来源于自己，并且与父亲之间有关于房产归属的明确约定（如口头或书面协议），那么儿子可能有权主张对该房产的相应权益。但这种情况需要具体分析，并且可能需要通过法律途径来解决争议。

行动建议：

• 如果家庭成员之间对该房产的继承问题存在争议，建议首先通过协商的方式解决。协商不成的，可以寻求第三方调解机构的帮助进行调解。
• 如果调解无果，或者争议较为复杂，建议咨询专业律师（即向我咨询）的意见，并根据律师的建议通过法律途径来解决争议。在处理过程中，需要保留好相关证据，如房产证、翻新房产的支出凭证、与父亲之间的约定等，以便在需要时提供证明。