结论：重婚的父亲将自己名下的房子通过遗嘱留给重婚的子女，这一行为在法律上的效力需分情况讨论，主要取决于子女是否知晓父亲的重婚情况以及是否构成善意取得。
1. 子女不知情且构成善意取得的情况
如果子女在父亲立遗嘱时并不知道父亲存在重婚行为，且该房产是父亲个人合法财产（即非与合法配偶的共同财产），那么子女基于遗嘱继承该房产在法律上可能是有效的。这是因为，遗嘱继承是基于被继承人的真实意愿，只要遗嘱形式合法、内容真实，且被继承人有处分权，遗嘱通常具有法律效力。在此情况下，子女作为善意继承人，其继承权应得到保护。
法律依据：
- 《中华人民共和国民法典》第一千一百二十三条：“继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理；有遗赠扶养协议的，按照协议办理。”
- 《中华人民共和国民法典》第一千一百三十三条：“自然人可以立遗嘱将个人财产指定由法定继承人中的一人或者数人继承。”
2. 子女知情或房产涉及合法配偶权益的情况
如果子女在父亲立遗嘱时知道父亲存在重婚行为，或者该房产是父亲与合法配偶的共同财产，那么情况就复杂多了。
- 子女知情：如果子女明知父亲重婚而仍然接受遗嘱，这可能涉及道德和法律上的双重考量。虽然法律上并未直接禁止重婚者的子女继承财产，但如果遗嘱内容或继承行为损害了合法配偶或其他继承人的权益，可能会引发法律纠纷。
- 房产涉及合法配偶权益：如果房产是父亲与合法配偶的共同财产，那么父亲无权单独处分整个房产。在这种情况下，遗嘱中关于该房产的处分部分可能是无效的，或者至少是部分无效的。合法配偶有权要求分割其应得的份额，而子女则只能继承父亲个人所有的部分。
法律依据：
- 《中华人民共和国民法典》第一千零六十二条：“夫妻在婚姻关系存续期间所得的下列财产，为夫妻的共同财产，归夫妻共同所有：…（二）生产、经营、投资的收益；…（四）继承或者受赠的财产，但是本法第一千零六十三条第三项规定的除外；…”。这表明，在婚姻关系存续期间继承的财产，除非另有约定，否则属于夫妻共同财产。
- 《中华人民共和国民法典》第一千一百五十三条：“夫妻共同所有的财产，除有约定的外，遗产分割时，应当先将共同所有的财产的一半分出为配偶所有，其余的为被继承人的遗产。”这进一步明确了在处理夫妻共同财产时的分割原则。
3. 重婚行为的法律后果
虽然重婚行为本身不影响遗嘱的民事法律效力（即遗嘱的形式和内容如果合法，仍然有效），但重婚者可能面临刑事责任的追究。根据《中华人民共和国刑法》第二百五十八条：“有配偶而重婚的，或者明知他人有配偶而与之结婚的，处二年以下有期徒刑或者拘役。”
建议
- 对于父亲：应尽快解决重婚问题，避免给子女和其他家庭成员带来不必要的法律纠纷和道德压力。
- 对于子女：在接受遗嘱前，应充分了解父亲的婚姻状况和房产的权属情况，必要时咨询专业律师，以确保自己的继承权得到合法保护。
- 对于合法配偶：如果发现配偶有重婚行为并试图通过遗嘱处分共同财产，应及时采取法律措施维护自己的权益。
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