核心结论：事业单位员工超60岁未被辞退的处理方式需分情况讨论，主要取决于其是否已办理退休手续、是否属于特殊岗位或存在特殊约定。以下是具体分析：

1. 若员工已符合法定退休条件（如达到退休年龄、社保缴费满15年）且已办理退休手续
   此时员工与事业单位的劳动关系依法终止，双方转为劳务关系。事业单位可与其签订劳务合同，明确工作内容、报酬、工作时间等，但无需再缴纳社保。若单位未及时办理退休手续导致员工未享受养老金，员工可要求单位补缴社保或赔偿损失（需以社保部门认定为准）。

2. 若员工虽超60岁但未办理退休手续，且单位未明确终止劳动关系
   根据《劳动合同法》及事业单位人事管理规定，员工达到退休年龄后，单位应主动为其办理退休手续。若未办理且继续用工，可能被认定为劳动关系延续。此时单位需承担以下风险：

   • 继续缴纳社保（但超过法定退休年龄后部分地区可能无法补缴）；
     
   • 员工发生工伤或疾病时，单位需按工伤标准或医疗期规定承担责任；
     
   • 若单位后续辞退，可能面临违法解除劳动合同的赔偿风险（需结合具体辞退理由判断）。

3. 若员工属于特殊岗位（如高级专家、技术骨干）且单位与员工协商一致延迟退休
   根据《事业单位人事管理条例》及地方规定，部分岗位经批准可延迟退休。此时需签订书面协议，明确延迟期限、待遇等，劳动关系继续存续，单位需按约定履行义务。

建议行动：

• 对员工：核实自身是否已符合退休条件，若已符合但未享受待遇，可要求单位补办手续；若未符合（如社保缴费不足），需与单位协商补缴或延续劳动关系至符合条件。
  
• 对单位：尽快核查员工退休情况，依法办理手续；若需延迟退休，务必签订书面协议并报主管部门备案；若已超龄且未办理手续，建议立即终止劳动关系或转为劳务关系，避免法律风险。
  

温馨提示：具体处理需结合地方政策及单位内部规定，若涉及复杂情况（如工伤、赔偿争议），可进一步向我提供细节，我将为您详细分析。