结论前置：第一次劳动合同到期后一个月内公司没续签，员工有权要求公司支付双倍工资作为赔偿，但需根据具体情况判断是否同时有权要求经济补偿。

详细分析：

1. 双倍工资赔偿：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，若用人单位与劳动者继续保持劳动关系但未续签书面劳动合同的，应当自劳动合同期满的次日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。若超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 赔偿方式及计算时间：赔偿方式为从原劳动合同到期的次月开始计算，公司需向员工支付双倍工资。例如，若原劳动合同于9月30日到期，而11月1日时仍未续签，则从10月1日起，公司应支付双倍工资。“双倍工资”指的是在原约定工资的基础上再增加一倍，即员工将获得两倍于原工资的赔偿。

2. 经济补偿情况：

   • 用人单位不续签或降低条件续签：若用人单位在劳动合同到期后不续签，或者降低条件续签而劳动者不同意，则用人单位需向劳动者支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
   • 用人单位维持或提高条件续签，劳动者不同意：若用人单位在维持或提高原劳动合同约定条件的情况下提出续订，而劳动者拒绝，则用人单位无需支付经济补偿。
   • 劳动者主动不续签：若劳动者主动提出不续签劳动合同，且用人单位未降低劳动合同约定条件，则用人单位无需支付经济补偿。

3. 特殊情况说明：

   • 无固定期限劳动合同：若用工之日起超过一年仍未签订劳动合同的，则视为双方建立了无固定期限劳动合同关系。此时，不再适用双倍工资的罚则规定，但员工仍享有其他劳动法规定的权益。若劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件（如连续工作满十年，或者连续订立二次固定期限劳动合同且没有法定不得续订情形的），用人单位拒绝续签的，则属于违法终止劳动合同的行为，劳动者可以主张双倍经济补偿标准的赔偿金。

4. 员工应注意的事项：

   • 保留证据：为了顺利主张赔偿，员工应妥善保留能证明与公司存在事实劳动关系的证据，如工资支付记录（工资条、银行工资流水等）、工作证、考勤记录、工作邮件、同事证言等。
   • 及时行使权利：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，员工应及时与公司沟通或向相关部门投诉、申请劳动仲裁，以避免错过时效。

5. 维权途径建议：

   • 在发现公司未按时续签劳动合同时，员工首先可尝试与公司进行沟通，要求其尽快续签并支付相应赔偿。
   • 若沟通无果，员工可以向当地劳动监察部门投诉，或依法申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。

总结与建议： 第一次劳动合同到期后一个月内公司没续签，员工有权要求公司支付双倍工资作为赔偿。同时，根据具体情况，员工可能还有权要求经济补偿。为了维护自己的合法权益，员工应妥善保留证据、及时行使权利，并通过合法途径进行维权。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。