结论：第一次签订劳动合同到期一个月之后不续约，用人单位是否需要赔偿以及赔偿的金额，主要取决于用人单位不续约的原因以及劳动合同的具体约定。以下是详细分析：

一、用人单位不续约的原因及赔偿情况

1. 用人单位提出不续约：

   • 如果劳动合同到期，是用人单位提出不再续签劳动合同的，那么根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
   • 经济补偿的计算公式为：\(经济补偿 = 劳动者在本单位工作的年限 \times 劳动者月工资\)。其中，月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
   • 举例：如果劳动者在用人单位工作了3年，月工资为5000元，那么经济补偿就是\(3年 \times 5000元/月 = 15000元\)。

2. 劳动者提出不续约：

   • 如果劳动合同到期，是劳动者提出不再续签劳动合同的，那么用人单位通常不需要支付经济补偿。
   • 但是，如果用人单位存在《劳动合同法》第三十八条规定的情形，如未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件、未及时足额支付劳动报酬等，劳动者提出不续约的，用人单位仍然需要支付经济补偿。

3. 双方协商一致不续约：

   • 如果劳动合同到期，双方协商一致不再续签劳动合同的，那么用人单位是否需要支付经济补偿，取决于双方的协商结果。如果协商中用人单位同意支付经济补偿，那么就需要支付；如果协商中用人单位不同意支付，且没有上述劳动者提出不续约但用人单位存在违法情形的，那么用人单位就不需要支付。

二、劳动合同的具体约定

• 除了上述法定情形外，劳动合同中还可能对续约和不续约的情况有具体约定。如果劳动合同中有明确约定不续约时的赔偿或补偿方式，那么应当按照劳动合同的约定执行。

三、特殊情况下的赔偿

• 如果用人单位不续约且存在违法情形，如未提前通知劳动者、未按照法定程序进行等，劳动者除了可以要求经济补偿外，还可以要求用人单位支付赔偿金。赔偿金的金额通常根据违法情形的严重程度和劳动者的实际损失来确定。

建议：

• 对于劳动者来说，如果劳动合同到期后用人单位不续约，应当首先了解自己的权益和用人单位的责任，然后与用人单位进行协商。如果协商不成，可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。
• 对于用人单位来说，在劳动合同到期前应当与劳动者进行沟通，了解劳动者的意愿和需求。如果决定不续约，应当按照法定程序和劳动合同的约定进行处理，避免引发劳动争议和法律风险。

最后，如果你在处理这类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。