结论前置：
- 若劳动合同到期后半个月用人单位未续签，但劳动者继续工作，用人单位一般需支付双倍工资作为赔偿，但赔偿期限从合同到期次月起算，半个月不满足双倍工资赔偿的完整月份条件，不过劳动者仍可主张该半个月内的双倍工资差额（实践中可能按实际工作天数计算）。
- 若因用人单位未续签导致劳动合同终止，且符合经济补偿金支付情形的，用人单位还需支付经济补偿金。
详细分析：
一、双倍工资赔偿
法律依据：
根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”以及《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第六条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当依照劳动合同法第八十二条的规定向劳动者每月支付两倍的工资，并与劳动者补订书面劳动合同；劳动者不与用人单位订立书面劳动合同的，用人单位应当书面通知劳动者终止劳动关系，并依照劳动合同法第四十七条的规定支付经济补偿。”
赔偿方式及计算时间：
- 若劳动合同到期后，用人单位未及时续签，而劳动者仍继续工作，从原劳动合同到期后的第二个月起，用人单位需向劳动者支付双倍工资。但半个月不满足一个完整的月份条件，不过劳动者仍可主张该半个月内的双倍工资差额，实践中可能按实际工作天数进行计算。
- “双倍工资”指的是在原约定工资的基础上再增加一倍，即劳动者将获得两倍于原工资的赔偿（但需注意，这半个月的赔偿可能按实际天数折算）。
示例说明：
假设原劳动合同于2024年1月1日到期，用人单位未续签，劳动者继续工作至1月15日。则从1月2日起，用人单位应支付双倍工资。对于1月2日至1月15日这14天（假设1月有31天，且不考虑周末休息等情况，仅为示例），用人单位需支付的双倍工资差额为：原日工资×14天（具体计算时，需根据实际工资和出勤情况调整）。
二、经济补偿金
支付情形：
- 若因用人单位未续签导致劳动合同终止，且符合《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条第五项规定的情形（即除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，依照本法第四十四条第一项规定终止固定期限劳动合同的），用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
经济补偿计算：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
示例说明：
假设劳动者在用人单位工作了2年3个月，劳动合同到期后用人单位未续签导致合同终止，则用人单位需支付2.5个月工资作为经济补偿。
三、其他注意事项
仲裁时效：
- 劳动争议申请仲裁的时效为一年，从知道或应当知道权利被侵害之日起计算。劳动者需在一年内主张双倍工资赔偿和经济补偿金。
证据收集：
- 劳动者应收集证明劳动关系、工作时间、工资待遇的证据，如工资条、考勤记录、工作证等，以便维权。
沟通协商：
- 在发现用人单位未按时续签劳动合同时，劳动者首先可尝试与用人单位进行沟通，要求其尽快续签并支付相应赔偿。
维权途径：
- 若沟通无果，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉，或依法申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
建议措施：
- 用人单位应在劳动合同到期前及时与劳动者协商并续签，避免不必要的法律纠纷和经济损失。
- 劳动者也应及时关注劳动合同情况，必要时提醒用人单位续签或重新签订，并在权益受损时及时维权。