关于是否签订无固定期限合同应由用人单位提出的问题，结论前置：并非必须由用人单位提出，劳动者在符合法定条件时也有权提出签订无固定期限劳动合同。以下从不同角度详细分析：

一、法定应当签订无固定期限劳动合同的情形

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，在以下几种情况下，用人单位应当与劳动者签订无固定期限劳动合同，且这些情形下，劳动者或用人单位的提出均可能触发签订义务，但关键在于满足法定条件：

1. 劳动者在用人单位连续工作满十年：

   • 劳动者在同一用人单位不间断地工作达到十年，即满足“连续工作满十年”的条件。此时，若劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的（除劳动者主动提出订立固定期限劳动合同外），用人单位应当订立无固定期限劳动合同。

2. 用人单位初次实行劳动合同制度或国有企业改制：

   • 在用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，如果劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年，劳动者提出签订无固定期限劳动合同的，用人单位应当签订。

3. 连续订立二次固定期限劳动合同：

   • 劳动者与用人单位已经连续订立了二次固定期限劳动合同，且劳动者没有严重违反用人单位规章制度等《劳动合同法》第三十九条规定的情形，也没有出现第四十条第一项、第二项规定的如患病不能从事原工作、不能胜任工作经培训仍不能胜任等情形的，续订劳动合同时，劳动者有权要求签订无固定期限劳动合同，用人单位应当签订。

二、劳动者提出签订无固定期限劳动合同的权利

在上述法定应当签订无固定期限劳动合同的情形下，劳动者不仅有权接受用人单位提出的签订无固定期限劳动合同的提议，更有权在符合条件时主动向用人单位提出签订无固定期限劳动合同的要求。这是法律赋予劳动者的权利，用人单位应当予以尊重并依法签订。

三、用人单位的违法责任

如果用人单位违反法律规定，不与符合条件的劳动者订立无固定期限劳动合同，自应当订立之日起，需向劳动者每月支付二倍的工资作为惩罚性赔偿。这一规定旨在督促用人单位依法行事，保障劳动者的合法权益。

四、实际操作中的注意事项

• 双方协商一致：除了法定应当签订无固定期限劳动合同的情形外，只要用人单位与劳动者双方就签订无固定期限劳动合同达成共同意愿，不论劳动者的工作年限、工作岗位等具体情况如何，都可以签订无固定期限劳动合同。
• 视为已订立无固定期限劳动合同的情况：如果用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。

总结与建议：签订无固定期限劳动合同并非必须由用人单位提出，劳动者在符合法定条件时也有权提出签订。双方应仔细了解并遵循相关法律法规的规定，以确保各自的权益得到妥善保护。在实际操作中，如果遇到任何疑问或问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。