结论：上班期间没和院长打招呼，第二天被辞退，这一行为是否构成违法辞退，需根据具体情况判断，但通常情况下，仅因未打招呼这一行为直接辞退员工，可能涉嫌违法解除劳动合同。

分析如下：

1. 从劳动合同解除的合法性角度：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同应当有合法、合理的理由，并且需要遵循法定的程序。如果用人单位仅因员工未打招呼这一轻微行为就直接辞退，且该行为并未对公司的正常运营、管理秩序或员工关系造成实质性影响，那么这种辞退行为可能缺乏合法性和合理性。
   • 合法解除劳动合同的情形通常包括员工严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害、被依法追究刑事责任等。未打招呼显然不属于这些情形之一。

2. 从公司规章制度的角度：

   • 如果公司规章制度中明确规定了员工必须向院长或上级打招呼作为工作纪律的一部分，并且员工违反了这一规定，那么公司有权根据规章制度进行相应的处理。但是，即使规章制度中有这样的规定，公司也需要考虑处理的合理性和适度性。对于轻微的违规行为，直接辞退可能过于严厉，不符合比例原则。
   • 此外，公司规章制度本身也需要符合法律法规的规定，不能侵犯员工的合法权益。如果规章制度中的规定本身就不合法或不合理，那么公司依据这样的规定辞退员工也是违法的。

3. 从员工权益保护的角度：

   • 员工有权获得公平、合理的对待。如果公司仅因员工未打招呼就辞退，且没有给出合理的解释或证据，那么这种行为可能侵犯了员工的合法权益。员工有权要求公司说明辞退的理由，并有权对公司的决定提出异议或申诉。
   • 如果员工认为公司的辞退行为违法或不合理，可以向劳动争议调解仲裁机构申请调解或仲裁，甚至可以通过诉讼途径维护自己的合法权益。

建议：

• 对于员工：如果遭遇了类似情况，首先应当与公司进行沟通，了解辞退的具体原因和依据。如果认为公司的决定违法或不合理，可以收集相关证据，如工作记录、规章制度、辞退通知等，向劳动争议调解仲裁机构申请调解或仲裁。
• 对于公司：应当审慎处理员工的违规行为，确保处理决定的合法性和合理性。在制定规章制度时，应当明确、具体、合理，并符合法律法规的规定。在处理员工违规行为时，应当遵循法定程序，给予员工充分的陈述和申辩机会。

可能后果：

• 如果公司的辞退行为被认定为违法解除劳动合同，那么公司可能需要支付员工经济补偿金或赔偿金，具体数额根据员工的工龄、工资等因素确定。同时，公司的声誉和形象也可能受到一定影响。

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