结论：在母亲生下孩子两个月后离家出走五年未管孩子的情况下，父亲起诉离婚时，确实可以要求母亲支付孩子这五年间的抚养费，并且还可以就离婚后孩子的抚养权、抚养费等问题提出主张。

分析说明：

1. 抚养费的支付义务：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对子女有抚养教育的义务。这种义务不因父母离婚而消除，也不因父母一方长期未与子女共同生活而免除。
   • 在母亲离家出走五年未管孩子的情况下，她显然未履行其作为母亲的抚养义务。因此，父亲在起诉离婚时，有权要求母亲支付这五年间的抚养费。

2. 抚养费的计算与支付：

   • 抚养费的数额通常根据子女的实际需要、父母双方的负担能力和当地的实际生活水平来确定。
   • 抚养费可以定期支付，也可以一次性支付。如果母亲有经济能力但拒绝支付，父亲可以通过法律途径申请强制执行。
   • 计算公式示例（非固定标准，需根据实际情况调整）：抚养费数额 = （母亲月收入 × 20%-30%）× 12个月 × 5年（具体比例和年限需根据实际情况和法院判决确定）。

3. 离婚后的抚养权与抚养费：

   • 在离婚诉讼中，除了要求母亲支付过去的抚养费外，父亲还可以就离婚后孩子的抚养权提出主张。
   • 如果父亲获得抚养权，母亲则需要根据法院判决支付离婚后的抚养费。抚养费的数额和支付方式同样会根据子女的实际需要、父母双方的负担能力和当地的实际生活水平来确定。

4. 法律程序与证据收集：

   • 父亲在起诉离婚并要求母亲支付抚养费时，需要收集相关证据来证明母亲未履行抚养义务，如孩子的生活费用支出记录、母亲的收入证明等。
   • 父亲还需要准备起诉状、证据材料等，并按照法院的要求提交。在诉讼过程中，父亲可以寻求律师的帮助，以确保自己的权益得到充分保障。

行动建议：

• 父亲应尽快收集相关证据，如孩子的医疗费用、教育费用等支出记录，以及母亲的收入证明等，以证明母亲未履行抚养义务。
• 父亲可以咨询专业律师（即我，郎丰亮律师，专注于婚姻家庭领域），了解具体的法律程序和诉讼策略，以确保自己的权益得到充分保障。
• 在起诉离婚时，父亲应明确提出要求母亲支付抚养费的诉讼请求，并附上相关证据材料。

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