结论前置：可以起诉离家出走不管孩子的一方，您既可以通过民事诉讼要求其履行抚养义务并支付抚养费，也可以在提起离婚诉讼时一并解决子女抚养问题。若其行为构成遗弃等更严重的违法行为，您还可以选择报警或向相关部门举报。
以下是对此问题的详细分析：
一、以要求履行抚养义务为由起诉
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。这一义务是法律规定的强制性责任，不因父母的婚姻关系改变而消失。
起诉条件：
- 如果一方离家出走，未履行抚养义务，导致孩子的生活、教育等方面受到严重影响，另一方作为直接抚养孩子的一方，有权向法院提起诉讼，要求离家出走的一方履行抚养义务并支付抚养费。
抚养费确定：
- 法院在审理此类案件时，会根据子女的实际需要、父母双方的负担能力以及当地的实际生活水平来确定抚养费数额。抚养费通常包括生活费、教育费、医疗费等必要费用。
证据收集：
- 在准备起诉前，您应收集相关证据，如离家出走一方的证明（如邻居、亲友的证言）、孩子日常生活开销的记录（如购物发票、学费收据等）以及因对方不管孩子给孩子造成不良影响的相关材料（如学校老师的证明、医疗记录等）。
二、以提起离婚并解决子女抚养问题为由起诉
法律依据：
- 如果离家出走不管孩子的行为导致夫妻感情破裂，您有权向法院提起离婚诉讼。在离婚诉讼中，法院会一并解决子女抚养权归属、抚养费支付以及探视权等相关问题。
判决原则：
- 法院在判决子女抚养权归属时，会综合考虑各种因素，包括孩子的年龄、双方的抚养能力和抚养条件、孩子的生活环境等，以最有利于未成年子女成长为原则进行裁判。如果孩子已满八周岁，法院还会尊重其真实意愿。
三、其他法律途径
报警或举报：
- 如果离家出走一方的行为构成了遗弃等更严重的违法行为，如长期不履行抚养义务、导致孩子生活无着等，您除了通过民事诉讼要求其承担法律责任外，还可以选择报警或者向相关部门（如民政部门、妇联等）举报，以进一步维护自己和孩子的合法权益。
法律援助和心理咨询：
- 面对复杂的法律问题和情感困扰，您可以寻求专业的法律援助和心理咨询。法律援助可以帮助您了解法律程序、准备诉讼材料等；心理咨询则可以帮助您缓解情绪压力、调整心态等。
行动建议：
- 在采取法律行动前，尽量与离家出走的一方进行沟通，尝试通过协商解决问题。如果沟通无果，再考虑采取法律手段。
- 在起诉前，务必收集好相关证据，以确保在诉讼中能够充分证明自己的主张。
- 如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保障。
最后，我想强调的是，面对此类问题，保持冷静和理性至关重要。通过法律途径维护自己和孩子的权益是正当且必要的，但也要注意方式方法，避免情绪化决策。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。