结论：第二年不体检不直接涉及劳动合同的签订问题，但第二年不签劳动合同是不可以的，这违反了《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位将面临法律责任。关于体检，除非劳动合同或规章制度中有明确规定，否则不强制要求每年体检。
一、关于不签劳动合同的问题
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条：“建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。”
- 若用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资（《劳动合同法》第八十二条）。
- 用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同（《劳动合同法》第十四条）。
法律后果：
- 如果第二年不签劳动合同，用人单位将面临支付双倍工资的法律责任，且可能被视为与劳动者已订立无固定期限劳动合同。
- 这不仅增加了用人单位的经济负担，还可能影响劳动关系的稳定性和和谐性。
建议：
- 用人单位应严格遵守法律规定，及时与劳动者签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
- 劳动者也应积极维护自己的合法权益，如果用人单位未按时签订劳动合同，可以要求用人单位支付双倍工资或寻求法律援助。
二、关于不体检的问题
法律规定：
- 体检通常不是劳动合同签订的必备条件，除非劳动合同或用人单位的规章制度中有明确规定。
- 对于某些特殊行业或岗位，如食品加工、医疗卫生等，可能要求劳动者进行定期体检，以确保劳动者的健康状况符合工作要求。
法律后果：
- 如果劳动合同或规章制度中没有明确规定体检要求，用人单位不强制要求劳动者进行体检通常不构成违法行为。
- 但如果因未体检而导致劳动者健康受损或工作事故等后果，用人单位可能因未尽到合理的管理义务而承担一定的法律责任。
建议：
- 用人单位可以根据工作需要和劳动者的健康状况，合理制定体检制度，并明确告知劳动者。
- 劳动者也应关注自己的健康状况，如果认为有必要进行体检，可以主动向用人单位提出或自行进行体检。
三、综合建议
- 对于用人单位而言，应严格遵守劳动合同法的相关规定，及时与劳动者签订书面劳动合同，并可以根据工作需要制定合理的体检制度。
- 对于劳动者而言，应积极维护自己的合法权益，如果用人单位未按时签订劳动合同或未提供必要的体检条件，可以寻求法律援助或向相关部门投诉。
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